مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

في البحث بالملاحظة، تعني معاينة الأحداث:

Aتسجيل السلوك فقط على فترات زمنية ثابتة
Bتسجيل كل مرة يحدث فيها سلوك محدد
Cاختيار المشاركين عشوائيًا
Dتسجيل الأحداث التي يبلّغ عنها المشاركون فقط

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يجمع باحث بيانات في تسع نقاط زمنية ويختبر في كل مرة عند مستوى 5% دون تصحيح. ما المشكلة؟

Aتصبح البيانات أكثر ثباتًا في كل مرة، فيكون الاختبار الأخير الأدق
Bلا توجد مشكلة في هذا الأسلوب
Cينخفض حجم التأثير مع كل اختبار
Dيرتفع احتمال الحصول على نتيجة إيجابية كاذبة واحدة على الأقل كثيرًا فوق 5%

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 41, 40, 21, 39, 53, 27, 38.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 20. ما نسبة P القيم الأكبر من 40؟

μ = 70σ = 20x = 40

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

σ =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 11 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,4، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 2 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 11p = 0,4k = 2

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل المسامير الملولبة مستقلة وطبيعية بمتوسط 40 g وانحراف معياري 1,2 g. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 10 منها عن 403,8 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10< 403.8 g

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 5% منها (المئين 5).

μ = 100σ = 15P = 5%

x = درجة

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 80 هاتفًا، المتوسط 109,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 9 h. الطراز 2: 40 هاتفًا، المتوسط 97 h، الانحراف المعياري المعلوم 15 h. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 109,5 hσ₁ = 9 hn₂ = 40x̄₂ = 97 hσ₂ = 15 h99%

الحد الأعلى = h

10.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 14 قطعة، متوسط المحصول 94 kg، الانحراف المعياري 2,5 kg. مجموعة القطع 2: 7 قطعة، المتوسط 98,5 kg، الانحراف المعياري 4 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 14x̄₁ = 94s₁ = 2,5n₂ = 7x̄₂ = 98,5s₂ = 490%t(19) = 1,729

الحد الأدنى = kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 103,2 وانحرافها المعياري 12. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 103,2s = 12n = 81

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 210 من 300 مريضًا على العلاج A، و 126 من 200 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 210n₁ = 300x₂ = 126n₂ = 200

z =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 52؟

n = 6ŷ = 52

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الموظفون، الحافلة».

مجموع الصف = 68مجموع العمود = 43N = 153

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 1803 × 2α = 0,01

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · تسجيل كل مرة يحدث فيها سلوك محدد

لماذا هذه هي الإجابة

تعدّ معاينة الأحداث كل حدوث للسلوكيات المستهدفة، أما معاينة الزمن فتسجل ما يحدث على فترات محددة، مثل كل 30 ثانية.

الإجابة

B · تسجيل كل مرة يحدث فيها سلوك محدد

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · يرتفع احتمال الحصول على نتيجة إيجابية كاذبة واحدة على الأقل كثيرًا فوق 5%

لماذا هذه هي الإجابة

مع تسعة اختبارات مستقلة يبلغ احتمال وقوع خطأ واحد على الأقل من النوع الأول نحو 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. وتعالج تصحيحات مثل بونفيروني ذلك.

الإجابة

D · يرتفع احتمال الحصول على نتيجة إيجابية كاذبة واحدة على الأقل كثيرًا فوق 5%

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 10,34

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 259/7 = 37

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 4² + 3² + (−16)² + 2² + 16² + (−10)² + 1² = 642

الانحراف المعياري

s = √(642/6) = 10,34

الإجابة

s = 10,34

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,9332

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

الإجابة

P = 0,9332

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 0,8367

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

التباين

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

σ = √0,7 = 0,8367

الإجابة

σ = 0,8367

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,08868

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 2) = 55·0,4²·0,6⁹ = 55·0,16·0,01008 = 0,08868

الإجابة

P = 0,08868

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8413

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 400 g, σ_T = 1,2·√10 = 3,795 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (403,8 − 400)/3,795 = 1

الاحتمال

P = Φ(1) = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 75,33 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

العودة إلى x

x = 100 + −1,645·15 = 75,33 درجة

الإجابة

x = 75,33 درجة

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 19,14 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 109,5 − 97 = 12,5

الخطأ المعياري

SE = √(9²/80 + 15²/40) = 2,576

هامش الخطأ

E = 2,576·2,576 = 6,637

الفترة

12,5 ± 6,637 → [5,863, 19,14]

الإجابة

الحد الأعلى = 19,14 h

الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.

10.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −6,945 kg

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (13·2,5² + 6·4²)/19 = 9,329

s_p = 3,054

هامش الخطأ

E = 1,729·3,054·√(1/14 + 1/7) = 2,445

الفترة

−4,5 ± 2,445 → [−6,945, −2,055]

الإجابة

الحد الأدنى = −6,945 kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,4

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

إحصائية الاختبار

t = (103,2 − 100)/1,333 = 2,4

الإجابة

t = 2,4

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = 1,633

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

نسبتا العينتين

p̂₁ = 210/300 = 0,7

p̂₂ = 126/200 = 0,63

p̂ = 336/500 = 0,672

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,672·0,328·(1/300 + 1/200)) = 0,04286

إحصائية الاختبار

z = (0,7 − 0,63)/0,04286 = 1,633

الإجابة

z = 1,633

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9983

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 126/6 = 21

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 174

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 434

معامل الارتباط

r = 174/√(70·434) = 0,9983

الإجابة

r = 0,9983

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 8,432

المتوسطات

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 307/6 = 51,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 135

خط الانحدار

b = 135/70 = 1,929

a = 51,17 − 1,929·8 = 35,74

ŷ = 35,74 + 1,929·x

حلّ لإيجاد x

x = (52 − 35,74)/1,929 = 8,432

الإجابة

x = 8,432

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 19,11

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 68·43/153 = 19,11

الإجابة

E = 19,11

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 7,35

التكرارات المتوقَّعة

العمر 18–30: 40, 40

العمر 31–50: 20, 20

العمر 51+: 30, 30

إحصاءة مربع كاي

χ² = (49 − 40)²/40 + (31 − 40)²/40 + (17 − 20)²/20 + (23 − 20)²/20 + (24 − 30)²/30 + (36 − 30)²/30

χ² = 7,35

القرار

df = 2, χ²_crit = 9,210

7,35 < 9,210

الإجابة

χ² = 7,35

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology