مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

دراسة مسجلة مسبقًا (preregistered). هذا يعني أن:

Aالنتائج فحصها وأقرّها إحصائي ثانٍ مستقل قبل النشر
Bالفرضيات والطرق وخطة التحليل سُجّلت علنًا قبل جمع البيانات
Cالمشاركين سجّلوا موافقتهم عبر الإنترنت
Dالدراسة نُشرت بالفعل

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يجد باحث أن مبيعات المثلجات ووفيات الغرق مرتبطة ارتباطًا موجبًا. أي تفسير هو الأرجح؟

Aلا بد أن الارتباط خطأ حسابي
Bالغرق يزيد مبيعات المثلجات
Cالطقس الحار يزيد مبيعات المثلجات والسباحة معًا
Dالمثلجات تسبب الغرق

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 60, 44, 50, 20, 25, 20.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 20. ما نسبة P القيم الأقل من 120؟

μ = 100σ = 20x = 120

P =

5.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 5 كرات حمراء و3 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

5 / 3

P =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 5X − 3. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,25, 0,1, 0,35, 0,2Y = 5X − 3

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 82,75 و 108,25 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 100σ = 15x₁ = 82,75x₂ = 108,25

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,05 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,02 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 25 مفردة متوسطها 54,5 وانحرافها المعياري s = 12. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 95% للمتوسط.

n = 25x̄ = 54,5s = 1295%t(24) = 2,064

E =

10.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 13 قطعة، متوسط المحصول 60 kg، الانحراف المعياري 1,5 kg. مجموعة القطع 2: 8 قطعة، المتوسط 66 kg، الانحراف المعياري 2 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 13x̄₁ = 60s₁ = 1,5n₂ = 8x̄₂ = 66s₂ = 290%t(19) = 1,729

E = kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 100 طالبًا متوسط درجاتها 122,5 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 122,5s = 15n = 100

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 70 من 200 مريضًا على العلاج A، و 82 من 200 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 70n₁ = 200x₂ = 82n₂ = 200

z =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 21Σy = 338Σx² = 91Σy² = 19332Σxy = 1253

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 9.

n = 6x = 9

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 2402 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · الفرضيات والطرق وخطة التحليل سُجّلت علنًا قبل جمع البيانات

لماذا هذه هي الإجابة

يفصل التسجيل المسبق بين التحليلات التأكيدية والاستكشافية ويقلل ممارسات مثل التلاعب بقيمة p (p-hacking) وHARKing.

الإجابة

B · الفرضيات والطرق وخطة التحليل سُجّلت علنًا قبل جمع البيانات

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · الطقس الحار يزيد مبيعات المثلجات والسباحة معًا

لماذا هذه هي الإجابة

يسبب متغير ثالث، هو درجة الحرارة، كليهما. وهذا يوضح لماذا لا يستطيع الارتباط وحده إثبات السببية.

الإجابة

C · الطقس الحار يزيد مبيعات المثلجات والسباحة معًا

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 17,13

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 219/6 = 36,5

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 23,5² + 7,5² + 13,5² + (−16,5)² + (−11,5)² + (−16,5)² = 1468

الانحراف المعياري

s = √(1468/5) = 17,13

الإجابة

s = 17,13

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,8413

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,3571

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 0,3571

الإجابة

P = 0,3571

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 6,538

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 3,3, Var(X) = 1,71, σ_X = 1,308

التغيير الخطي

σ_Y = |5|·1,308 = 6,538

الإجابة

σ_Y = 6,538

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 5·3,3 − 3 = 13,5.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,5838

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (82,75 − 100)/15 = −1,15

z₂ = (108,25 − 100)/15 = 0,55

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,55) − Φ(−1,15) = 0,7088 − 0,1251 = 0,5838

الإجابة

P = 0,5838

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9616

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616

الإجابة

P = 0,9616

9.فترات الثقة

الإجابة: E = 4,954

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 24, t = 2,064

هامش الخطأ

E = 2,064·12/√25 = 4,954

الإجابة

E = 4,954

10.فترات الثقة

الإجابة: E = 1,322 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (12·1,5² + 7·2²)/19 = 2,895

s_p = 1,701

هامش الخطأ

E = 1,729·1,701·√(1/13 + 1/8) = 1,322

الإجابة

E = 1,322 kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,667

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

إحصائية الاختبار

t = (122,5 − 120)/1,5 = 1,667

الإجابة

t = 1,667

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −1,236

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

نسبتا العينتين

p̂₁ = 70/200 = 0,35

p̂₂ = 82/200 = 0,41

p̂ = 152/400 = 0,38

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,38·0,62·(1/200 + 1/200)) = 0,04854

إحصائية الاختبار

z = (0,35 − 0,41)/0,04854 = −1,236

الإجابة

z = −1,236

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9804

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 1253 − 21·338/6 = 70

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 19332 − 338²/6 = 291,3

معامل الارتباط

r = 70/√(17,5·291,3) = 0,9804

الإجابة

r = 0,9804

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 20,45

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 98/6 = 16,33

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144

خط الانحدار

b = 144/70 = 2,057

a = 16,33 − 2,057·7 = 1,933

ŷ = 1,933 + 2,057·x

التنبؤ

ŷ = 1,933 + 2,057·9 = 20,45

الإجابة

ŷ = 20,45

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 6,489

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المناوبة النهارية: 120·60/240 = 30, 120·84/240 = 42, 120·96/240 = 48

المناوبة الليلية: 120·60/240 = 30, 120·84/240 = 42, 120·96/240 = 48

إحصاءة مربع كاي

χ² = (31 − 30)²/30 + (50 − 42)²/42 + (39 − 48)²/48 + (29 − 30)²/30 + (34 − 42)²/42 + (57 − 48)²/48

χ² = 6,489

الإجابة

χ² = 6,489

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 84,7

التكرارات المتوقَّعة

خط الإنتاج 1: 75, 25

خط الإنتاج 2: 45, 15

خط الإنتاج 3: 30, 10

إحصاءة مربع كاي

χ² = (97 − 75)²/75 + (3 − 25)²/25 + (44 − 45)²/45 + (16 − 15)²/15 + (9 − 30)²/30 + (31 − 10)²/10

χ² = 84,7

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

84,7 > 5,991

الإجابة

χ² = 84,7

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology