الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
أي اختبار يقارن بين مجموعتين مستقلتين عندما تكون البيانات رتبية أو غير طبيعية بوضوح؟
- Aاختبار ويلكوكسون للرتب ذات الإشارة
- Bاختبار كاي تربيع
- Cاختبار t للعينات المستقلة
- Dاختبار مان–ويتني U
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
يُجري باحث خمسة اختبارات t ويريد إبقاء معدل الخطأ الكلي من النوع الأول عند 0,05 باستخدام تصحيح بونفيروني. ما مستوى الدلالة الذي يجب استخدامه لكل اختبار؟
- A0,025
- B0,01
- C0,25
- D0,05
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 35, 31, 59, 55, 12.
n = 5
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأكبر من 70؟
μ = 60σ = 10x = 70
P =
5.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,25, 0,3, 0,2
Var(X) =
6.الاحتمالصعبة
يحتوي اختبار على 11 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,1، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 1 إجابات صحيحة بالضبط؟
n = 11p = 0,1k = 1
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. ما النسبة التي تقع بين 175,9 و 186,75 cm؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 178σ = 7x1 = 175,9x2 = 186,75
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 97,5% منها (المئين 97,5).
μ = 100σ = 15P = 97,5%
x = درجة
9.فترات الثقةمتوسطة
يُقاس ضغط الدم لـ 11 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 6,2 وانحرافها المعياري 1. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% لمتوسط الفروق.
n = 11d̄ = 6,2sd = 199%t(10) = 3,169
الحد الأعلى = mmHg
10.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 15. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 3 على الأكثر؟
σ = 15E = 395%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 48,78 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 48,78s = 5n = 81
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 49 قياسًا متوسطها 48. الانحراف المعياري للمجتمع 10. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 99% للمتوسط.
x̄ = 48σ = 10n = 4999%
U =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 5
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (4,5, 23). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 5(4,5, 23)
e =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الطلاب، السيارة».
مجموع الصف = 73مجموع العمود = 79N = 154
E =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 2 صفوف و 11 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟
2 × 11
df =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · اختبار مان–ويتني U
لماذا هذه هي الإجابة
يقارن اختبار مان–ويتني U الرتب بين مجموعتين غير مترابطتين، أما اختبار ويلكوكسون للرتب ذات الإشارة فللعينات المترابطة.
الإجابة
D · اختبار مان–ويتني U
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: B · 0,01
لماذا هذه هي الإجابة
يقسم تصحيح بونفيروني α على عدد المقارنات: 0,05 / 5 = 0,01. وهو بسيط لكنه متحفظ، مما يزيد خطر الأخطاء من النوع الثاني.
الإجابة
B · 0,01
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 19,13
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 192/5 = 38,4
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−3,4)² + (−7,4)² + 20,6² + 16,6² + (−26,4)² = 1463
الانحراف المعياري
s = √(1463/4) = 19,13
الإجابة
s = 19,13
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,1587
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 1
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
الإجابة
P = 0,1587
5.الاحتمال
الإجابة: Var(X) = 4,59
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,25 + 2·0,25 + 4·0,3 + 6·0,2 = 2,9
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,25 + 4·0,25 + 16·0,3 + 36·0,2 = 13
التباين
Var(X) = 13 − 2,9² = 4,59
الإجابة
Var(X) = 4,59
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,3835
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صيغة ذي الحدين
P(X = 1) = 11·0,11·0,910 = 11·0,1·0,3487 = 0,3835
الإجابة
P = 0,3835
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,5123
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (175,9 − 178)/7 = −0,3
z₂ = (186,75 − 178)/7 = 1,25
المساحة بين القيمتين
P = Φ(1,25) − Φ(−0,3) = 0,8944 − 0,3821 = 0,5123
الإجابة
P = 0,5123
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 129,4 درجة
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
العودة إلى x
x = 100 + 1,96·15 = 129,4 درجة
الإجابة
x = 129,4 درجة
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 7,155 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
القيمة الحرجة
df = 10, t = 3,169
هامش الخطأ
E = 3,169·1/√11 = 0,9555
الفترة
6,2 ± 0,9555 → [5,245, 7,155]
الإجابة
الحد الأعلى = 7,155 mmHg
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 97
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (1,96·15/3)² = 96,04
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 97
الإجابة
n = 97
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −2,196
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556
إحصائية الاختبار
t = (48,78 − 50)/0,5556 = −2,196
الإجابة
t = −2,196
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: U = 51,68
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 2,576·10/√49 = 3,68
حد الفترة
U = 48 + 3,68 = 51,68
الإجابة
U = 51,68
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9793
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 250/5 = 50
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 178
Syy = Σ(y − ȳ)² = 826
معامل الارتباط
r = 178/√(40·826) = 0,9793
الإجابة
r = 0,9793
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = 2,6
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 111/5 = 22,2
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −12
خط الانحدار
b = −12/10 = −1,2
a = 22,2 − (−1,2)·3 = 25,8
ŷ = 25,8 − 1,2·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = 25,8 + (−1,2)·4,5 = 20,4
البُواقي
e = 23 − 20,4 = 2,6
الإجابة
e = 2,6
تقع النقطة فوق الخط.
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: E = 37,45
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرار المتوقَّع
E = 73·79/154 = 37,45
الإجابة
E = 37,45
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: df = 10
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10
الإجابة
df = 10
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology