مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

في التوزيع الطبيعي التام:

Aتقع معظم الدرجات في الذيلين
Bيتساوى المتوسط والوسيط والمنوال
Cيكون المتوسط دائمًا أكبر من الوسيط
Dيكون المنوال أدنى درجة

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

في النظرية المجذّرة (grounded theory) يستمر جمع البيانات حتى:

Aتأكيد الفرضية الأصلية
Bبلوغ التشبع النظري حين لا تضيف البيانات الجديدة فئات جديدة
Cالحصول على قيمة p أقل من 0,05
Dمقابلة 1,000 مشارك على الأقل

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 56, 43, 20, 23, 41, 58, 46.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 75. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 575.

μ = 500σ = 75x = 575

z =

5.الاحتمالمتوسطة

بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 5 أشخاص من مجموعة من 7؟ الترتيب غير مهم.

n = 7k = 5

N =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €1 للمشاركة. تربح €5 باحتمال 0,1 و€20 باحتمال 0,01؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €1€5: p = 0,1€20: p = 0,01

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. ما النسبة التي تقع بين 49 و 73 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 65σ = 10x₁ = 49x₂ = 73

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أطوال الرجال X وأطوال النساء Y في مجموعة مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 180 cm وانحراف معياري 10 cm، ولـ Y متوسط 170 cm وانحراف معياري 12 cm. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 16 مفردة متوسطها 62 وانحرافها المعياري s = 1. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 16x̄ = 62s = 199%t(15) = 2,947

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 19. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 0,5 على الأكثر؟

σ = 19E = 0,595%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 100؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 30. متوسط عينة عشوائية من 144 مشاهدة هو 102,55. اختبر H₀: μ = 100 مقابل H₁: μ > 100. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 100σ = 30n = 144x̄ = 102,55H₁: μ > μ₀

p =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 16 قياسًا متوسطها 74,7. الانحراف المعياري للمجتمع 12. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 99% للمتوسط.

x̄ = 74,7σ = 12n = 1699%

U =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 69؟

n = 6ŷ = 69

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الموظفون، الدراجة».

مجموع الصف = 72مجموع العمود = 56N = 115

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 7 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²_crit عند مستوى الدلالة α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · يتساوى المتوسط والوسيط والمنوال

لماذا هذه هي الإجابة

التوزيع الطبيعي متناظر وجرسي الشكل، فتقع مقاييس النزعة المركزية الثلاثة جميعها في المركز.

الإجابة

B · يتساوى المتوسط والوسيط والمنوال

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · بلوغ التشبع النظري حين لا تضيف البيانات الجديدة فئات جديدة

لماذا هذه هي الإجابة

تطوّر النظرية المجذّرة النظرية استقرائيًا، فتجمع البيانات وترمّزها معًا، وتتوقف عن المعاينة عندما لا تعود البيانات الجديدة تطوّر الفئات.

الإجابة

B · بلوغ التشبع النظري حين لا تضيف البيانات الجديدة فئات جديدة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 14,76

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 287/7 = 41

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 15² + 2² + (−21)² + (−18)² + 0² + 17² + 5² = 1308

الانحراف المعياري

s = √(1308/6) = 14,76

الإجابة

s = 14,76

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 1

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (575 − 500)/75 = 1

الإجابة

z = 1

5.الاحتمال

الإجابة: N = 21

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

التوافيق

C(7, 5) = (7·6·5·4·3)/(5·4·3·2·1) = 21

الإجابة

N = 21

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = −0,3 €

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

النتائج الصافية

G: 4 (p = 0,1), 19 (p = 0,01), −1 (p = 0,89)

القيمة المتوقعة

E(G) = 4·0,1 + 19·0,01 − 1·0,89 = −0,3 €

الإجابة

E(G) = −0,3 €

القيمة السالبة تعني أنك تخسر مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7333

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (49 − 65)/10 = −1,6

z₂ = (73 − 65)/10 = 0,8

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,8) − Φ(−1,6) = 0,7881 − 0,0548 = 0,7333

الإجابة

P = 0,7333

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7389

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

الإجابة

P = 0,7389

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 62,74

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 15, t = 2,947

هامش الخطأ

E = 2,947·1/√16 = 0,7368

الفترة

62 ± 0,7368 → [61,26, 62,74]

الإجابة

الحد الأعلى = 62,74

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 5548

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·19/0,5)² = 5547

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 5548

الإجابة

n = 5548

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,1539

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 30/√144 = 2,5

z = (102,55 − 100)/2,5 = 1,02

مساحة الذيل

Φ(1,02) = 0,8461

1 − Φ(1,02) = 0,1539

القيمة الاحتمالية

p = 0,1539

الإجابة

p = 0,1539

p > 0,05، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 82,43

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 2,576·12/√16 = 7,728

حد الفترة

U = 74,7 + 7,728 = 82,43

الإجابة

U = 82,43

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9765

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 79/6 = 13,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 101

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 152,8

معامل الارتباط

r = 101/√(70·152,8) = 0,9765

الإجابة

r = 0,9765

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 18,88

المتوسطات

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 453/6 = 75,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 215

خط الانحدار

b = 215/70 = 3,071

a = 75,5 − 3,071·21 = 11

ŷ = 11 + 3,071·x

حلّ لإيجاد x

x = (69 − 11)/3,071 = 18,88

الإجابة

x = 18,88

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 35,06

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 72·56/115 = 35,06

الإجابة

E = 35,06

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²_crit = 15,09

درجات الحرية

df = 7 − 1 − 1 = 5

الجدول

χ²_crit(df = 5, α = 0,01) = 15,086

الإجابة

χ²_crit = 15,086

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology