مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يتنبأ استبيان جديد للاكتئاب بالطلاب الذين سيطلبون العلاج خلال العام التالي. هذا يدعم أي نوع من الصدق؟

Aالصدق التلازمي
Bالصدق التنبؤي
Cالصدق الظاهري
Dصدق المحتوى

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يهدف التحليل الظاهراتي التأويلي (IPA) أساسًا إلى:

Aقياس أزمنة الرجع بدقة
Bعدّ تكرار الكلمات في النصوص
Cاختبار فرضيات سببية بعينات كبيرة
Dاستكشاف كيفية فهم الأفراد لتجاربهم المعيشة

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 35, 33, 47, 25, 12, 37, 28.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 8. ما نسبة P القيم الأكبر من 173,2؟

μ = 170σ = 8x = 173,2

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,25, 0,15, 0,1, 0,25

σ =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €3 للمشاركة. تربح €9 باحتمال 0,25 و€150 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €3€9: p = 0,25€150: p = 0,05

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,9371. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,9371

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أوزان الأكياس توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 20% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 15 مفردة متوسطها 50,5 وانحرافها المعياري s = 17,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 15x̄ = 50,5s = 17,595%t(14) = 2,145

الحد الأدنى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 39. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 2,5 على الأكثر؟

σ = 39E = 2,590%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يجري 13 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق −4,1 والانحراف المعياري للفروق 8,7. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μ_d = 0.

n = 13d̄ = −4,1s_d = 8,7

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 90 من 200 مريضًا على العلاج A، و 47 من 80 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 90n₁ = 200x₂ = 47n₂ = 80

z =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 96؟

n = 6ŷ = 96

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1802 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 5 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 5

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · الصدق التنبؤي

لماذا هذه هي الإجابة

يظهر الصدق التنبؤي عندما تتنبأ الدرجات بمحك لاحق. أما الصدق التلازمي فيستخدم محكًا يُقاس في الوقت نفسه.

الإجابة

B · الصدق التنبؤي

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · استكشاف كيفية فهم الأفراد لتجاربهم المعيشة

لماذا هذه هي الإجابة

يدرس IPA عينات صغيرة متجانسة بعمق، فيفحص كيف يفسر المشاركون تجارب مهمة، مع قيام الباحث بتفسير فهمهم لها.

الإجابة

D · استكشاف كيفية فهم الأفراد لتجاربهم المعيشة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 10,94

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 217/7 = 31

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 4² + 2² + 16² + (−6)² + (−19)² + 6² + (−3)² = 718

الانحراف المعياري

s = √(718/6) = 10,94

الإجابة

s = 10,94

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,3446

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 0,4

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

الإجابة

P = 0,3446

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 1,526

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,15 + 4·0,1 + 5·0,25 = 2,85

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,15 + 16·0,1 + 25·0,25 = 10,45

التباين

Var(X) = 10,45 − 2,85² = 2,327

σ = √2,327 = 1,526

الإجابة

σ = 1,526

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 6,75 €

النتائج الصافية

G: 6 (p = 0,25), 147 (p = 0,05), −3 (p = 0,7)

القيمة المتوقعة

E(G) = 6·0,25 + 147·0,05 − 3·0,7 = 6,75 €

الإجابة

E(G) = 6,75 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,86

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,9371)/2 = 0,9686

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9686 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,86

الإجابة

z = 1,86

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 245,8 g

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,2

z من الجدول

z ≈ −0,84

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 250 − 0,84·5 = 245,8 g

الإجابة

x = 245,8 g

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 40,81

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 14, t = 2,145

هامش الخطأ

E = 2,145·17,5/√15 = 9,692

الفترة

50,5 ± 9,692 → [40,81, 60,19]

الإجابة

الحد الأدنى = 40,81

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 659

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·39/2,5)² = 658,5

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 659

الإجابة

n = 659

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,699

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

الخطأ المعياري لمتوسط الفروق

SE = 8,7/√13 = 2,413

إحصائية الاختبار

t = −4,1/2,413 = −1,699

الإجابة

t = −1,699

مع df = 12، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,179؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −2,079

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

نسبتا العينتين

p̂₁ = 90/200 = 0,45

p̂₂ = 47/80 = 0,5875

p̂ = 137/280 = 0,4893

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,4893·0,5107·(1/200 + 1/80)) = 0,06613

إحصائية الاختبار

z = (0,45 − 0,5875)/0,06613 = −2,079

الإجابة

z = −2,079

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9543

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 462/6 = 77

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 531

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1876

معامل التحديد

r² = 531²/(157,5·1876) = 0,9543

الإجابة

r² = 0,9543

نحو 95,43% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 24

المتوسطات

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 457/6 = 76,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 347

خط الانحدار

b = 347/70 = 4,957

a = 76,17 − 4,957·20 = −22,98

ŷ = −22,98 + 4,957·x

حلّ لإيجاد x

x = (96 − (−22,98))/4,957 = 24

الإجابة

x = 24

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 1,5

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

حضري: 100·27/180 = 15, 100·72/180 = 40, 100·81/180 = 45

ريفي: 80·27/180 = 12, 80·72/180 = 32, 80·81/180 = 36

إحصاءة مربع كاي

χ² = (14 − 15)²/15 + (44 − 40)²/40 + (42 − 45)²/45 + (13 − 12)²/12 + (28 − 32)²/32 + (39 − 36)²/36

χ² = 1,5

الإجابة

χ² = 1,5

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 4

درجات الحرية

df = 5 − 1 = 4

الإجابة

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology