الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
معامل ألفا كرونباخ البالغ 0,88 لمقياس قلق من 15 بندًا يدل على:
- Aأن المقياس يتنبأ جيدًا بالقلق المستقبلي
- Bأن للمقياس تأثيرًا دالًا في القلق
- Cاتساق داخلي جيد للبنود
- Dأن الدرجات مستقرة على مدى ستة أشهر
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
تُظهر دراسة أن استبيانًا يرتبط ارتباطًا قويًا باختبار معتمد للمفهوم نفسه. هذا يدعم:
- Aثبات إعادة الاختبار
- Bالصدق التلازمي
- Cالصدق الظاهري
- Dالصدق البيئي
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 35, 59, 49, 38, 56.
n = 5
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأكبر من 74؟
μ = 70σ = 10x = 74
P =
5.الاحتمالمتوسطة
يحتوي كيس على 5 كرات حمراء و7 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟
5 / 7
P =
6.الاحتمالصعبة
يُختبر 6 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,2. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 6p = 0,2
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. ما النسبة التي تقع بين 32 و 42,8 min؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 32σ = 6x1 = 32x2 = 42,8
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
كتلة منتج X من الخط 1 وY من الخط 2 مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 500 g وانحراف معياري 8 g، ولـ Y متوسط 490 g وانحراف معياري 6 g. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 11 مفردة متوسطها 118 وانحرافها المعياري s = 5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للمتوسط.
n = 11x̄ = 118s = 599%t(10) = 3,169
الحد الأعلى =
10.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 18. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 2,5 على الأكثر؟
σ = 18E = 2,590%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
يُزعم أن متوسط مجتمع ما 80؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 48. متوسط عينة عشوائية من 144 مشاهدة هو 88,64. اختبر H₀: μ = 80 مقابل H₁: μ > 80. أوجد القيمة الاحتمالية p.
μ₀ = 80σ = 48n = 144x̄ = 88,64H₁: μ > μ₀
p =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 95% للمتوسط 1 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 20. أوجد أصغر حجم عينة n.
σ = 20E = 195%
n =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 6
r² =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (2,5, 49). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 5(2,5, 49)
e =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الموظفون، السيارة».
مجموع الصف = 117مجموع العمود = 56N = 197
E =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 9 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). كم درجة حرية df للاختبار؟
k = 9
df =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · اتساق داخلي جيد للبنود
لماذا هذه هي الإجابة
يقدّر ألفا كرونباخ الاتساق الداخلي، وتُعد القيم في حدود 0,7 أو أعلى مقبولة عادةً. ولا يُظهر وحده الصدق.
الإجابة
C · اتساق داخلي جيد للبنود
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: B · الصدق التلازمي
لماذا هذه هي الإجابة
يظهر الصدق التلازمي عندما يتفق مقياس جديد مع مقياس معتمد طُبّق في الوقت نفسه تقريبًا.
الإجابة
B · الصدق التلازمي
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 10,64
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 237/5 = 47,4
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−12,4)² + 11,6² + 1,6² + (−9,4)² + 8,6² = 453,2
الانحراف المعياري
s = √(453,2/4) = 10,64
الإجابة
s = 10,64
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,3446
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 0,4
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
الإجابة
P = 0,3446
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,1515
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
السحبة الأولى والثانية
P = 5/12 · 4/11 = 20/132 = 0,1515
الإجابة
P = 0,1515
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,6554
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,86 = 0,2621
P(X = 1) = 6·0,2·0,85 = 0,3932
اجمعها
P = 0,2621 + 0,3932 = 0,6554
الإجابة
P = 0,6554
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,4641
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (32 − 32)/6 = 0
z₂ = (42,8 − 32)/6 = 1,8
المساحة بين القيمتين
P = Φ(1,8) − Φ(0) = 0,9641 − 0,5 = 0,4641
الإجابة
P = 0,4641
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,8413
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع الفرق
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (0 − 10)/10 = −1
الاحتمال
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
الإجابة
P = 0,8413
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 122,8
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 10, t = 3,169
هامش الخطأ
E = 3,169·5/√11 = 4,777
الفترة
118 ± 4,777 → [113,2, 122,8]
الإجابة
الحد الأعلى = 122,8
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 141
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (1,645·18/2,5)² = 140,3
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 141
الإجابة
n = 141
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: p = 0,01539
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
إحصائية الاختبار
SE = σ/√n = 48/√144 = 4
z = (88,64 − 80)/4 = 2,16
مساحة الذيل
Φ(2,16) = 0,9846
1 − Φ(2,16) = 0,0154
القيمة الاحتمالية
p = 0,01539
الإجابة
p = 0,01539
p ≤ 0,05، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: n = 1537
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
حُلّ لإيجاد n
n = (1,96·20/1)² = 1537
قرّب إلى الأعلى
n = 1537
الإجابة
n = 1537
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,9863
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 646/6 = 107,7
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 422
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2579
معامل التحديد
r² = 422²/(70·2579) = 0,9863
الإجابة
r² = 0,9863
نحو 98,63% من التباين في y يفسّره الخط.
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = 4,25
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 259/5 = 51,8
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 47
خط الانحدار
b = 47/10 = 4,7
a = 51,8 − 4,7·4 = 33
ŷ = 33 + 4,7·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = 33 + 4,7·2,5 = 44,75
البُواقي
e = 49 − 44,75 = 4,25
الإجابة
e = 4,25
تقع النقطة فوق الخط.
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: E = 33,26
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرار المتوقَّع
E = 117·56/197 = 33,26
الإجابة
E = 33,26
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: df = 8
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 9 − 1 = 8
الإجابة
df = 8
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology