مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يرسل باحث استبيانًا إلى جميع الطلاب، ثم يطلب من المستجيبين استقطاب أصدقاء يستخدمون أيضًا تطبيقًا نادرًا للنوم. أي طريقة معاينة تُستخدم في الخطوة الثانية؟

Aالمعاينة العشوائية
Bمعاينة كرة الثلج
Cالمعاينة الطبقية
Dالمعاينة المنتظمة

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يُظهر مرضى اختيروا لأن درجات قلقهم مرتفعة جدًا درجات أقل في اختبار ثانٍ، حتى دون علاج. ما التفسير الأرجح؟

Aأثر هوثورن
Bأثر السقف
Cالانحدار نحو المتوسط
Dالموازنة (counterbalancing)

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 50, 17, 40, 17, 48.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 130.

μ = 100σ = 20x = 130

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,1, 0,35, 0,3

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

يُختبر 5 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,25. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 5p = 0,25

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 60 s وانحراف معياري 5 s؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 45 s وانحراف معياري 4 s. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 95,4 s. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 95,4 s

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 97,5% منها (المئين 97,5).

μ = 100σ = 15P = 97,5%

x = درجة

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 10 مفردة متوسطها 74,5 وانحرافها المعياري s = 15,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 10x̄ = 74,5s = 15,595%t(9) = 2,262

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للنسبة 0,025 على الأكثر؟

p = 0,5E = 0,02590%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 100؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 12. متوسط عينة عشوائية من 64 مشاهدة هو 103,51. اختبر H₀: μ = 100 مقابل H₁: μ > 100. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 100σ = 12n = 64x̄ = 103,51H₁: μ > μ₀

p =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 81 قياسًا متوسطها 99,4. الانحراف المعياري للمجتمع 4. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 99,4σ = 4n = 8195%

U =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 30Σy = 123Σx² = 220Σy² = 3595Σxy = 888

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 22.

n = 6x = 22

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 2002 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 1603 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · معاينة كرة الثلج

لماذا هذه هي الإجابة

معاينة كرة الثلج مفيدة للمجموعات التي يصعب الوصول إليها، لكن من المرجح أن تتشارك العينة خصائص معينة فلا تكون ممثِّلة.

الإجابة

B · معاينة كرة الثلج

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · الانحدار نحو المتوسط

لماذا هذه هي الإجابة

عندما يُختار الناس بسبب درجات متطرفة، فإن خطأ القياس والصدفة يعنيان أن درجاتهم اللاحقة تميل إلى الاتجاه نحو المتوسط. وتساعد المجموعات الضابطة على فصل ذلك عن آثار العلاج.

الإجابة

C · الانحدار نحو المتوسط

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,32

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 172/5 = 34,4

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 15,6² + (−17,4)² + 5,6² + (−17,4)² + 13,6² = 1065

الانحراف المعياري

s = √(1065/4) = 16,32

الإجابة

s = 16,32

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 1,5

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (130 − 100)/20 = 1,5

الإجابة

z = 1,5

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,31

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,25 + 1·0,1 + 2·0,35 + 3·0,3 = 1,7

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,1 + 4·0,35 + 9·0,3 = 4,2

التباين

Var(X) = 4,2 − 1,7² = 1,31

الإجابة

Var(X) = 1,31

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,6328

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,75⁵ = 0,2373

P(X = 1) = 5·0,25·0,75⁴ = 0,3955

اجمعها

P = 0,2373 + 0,3955 = 0,6328

الإجابة

P = 0,6328

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9332

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (95,4 − 105)/6,403 = −1,5

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332

الإجابة

P = 0,9332

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 129,4 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

العودة إلى x

x = 100 + 1,96·15 = 129,4 درجة

الإجابة

x = 129,4 درجة

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 85,59

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 9, t = 2,262

هامش الخطأ

E = 2,262·15,5/√10 = 11,09

الفترة

74,5 ± 11,09 → [63,41, 85,59]

الإجابة

الحد الأعلى = 85,59

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 1083

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,025² = 1082

قرّب إلى الأعلى

n = 1083

الإجابة

n = 1083

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,009642

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 12/√64 = 1,5

z = (103,51 − 100)/1,5 = 2,34

مساحة الذيل

Φ(2,34) = 0,9904

1 − Φ(2,34) = 0,0096

القيمة الاحتمالية

p = 0,009642

الإجابة

p = 0,009642

p ≤ 0,05، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 100,3

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,96·4/√81 = 0,8711

حد الفترة

U = 99,4 + 0,8711 = 100,3

الإجابة

U = 100,3

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9941

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 888 − 30·123/5 = 150

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 3595 − 123²/5 = 569,2

معامل الارتباط

r = 150/√(40·569,2) = 0,9941

الإجابة

r = 0,9941

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 105,3

المتوسطات

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 632/6 = 105,3

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 340

خط الانحدار

b = 340/70 = 4,857

a = 105,3 − 4,857·22 = −1,524

ŷ = −1,524 + 4,857·x

التنبؤ

ŷ = −1,524 + 4,857·22 = 105,3

الإجابة

ŷ = 105,3

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 22,13

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الطلاب: 80·100/200 = 40, 80·50/200 = 20, 80·50/200 = 20

الموظفون: 120·100/200 = 60, 120·50/200 = 30, 120·50/200 = 30

إحصاءة مربع كاي

χ² = (29 − 40)²/40 + (17 − 20)²/20 + (34 − 20)²/20 + (71 − 60)²/60 + (33 − 30)²/30 + (16 − 30)²/30

χ² = 22,13

الإجابة

χ² = 22,13

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 0,4167

التكرارات المتوقَّعة

المصنع A: 16, 24

المصنع B: 16, 24

المصنع C: 32, 48

إحصاءة مربع كاي

χ² = (15 − 16)²/16 + (25 − 24)²/24 + (15 − 16)²/16 + (25 − 24)²/24 + (34 − 32)²/32 + (46 − 48)²/48

χ² = 0,4167

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

0,4167 < 5,991

الإجابة

χ² = 0,4167

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology