مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يرسل باحث استبيانًا إلى جميع الطلاب، ثم يطلب من المستجيبين استقطاب أصدقاء يستخدمون أيضًا تطبيقًا نادرًا للنوم. أي طريقة معاينة تُستخدم في الخطوة الثانية؟

Aالمعاينة الطبقية
Bمعاينة كرة الثلج
Cالمعاينة المنتظمة
Dالمعاينة العشوائية

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يجمع تحليل بعدي 40 دراسة عن علاج ما. لماذا قد يظل حجم الأثر الكلي أكبر من اللازم؟

Aلأن التحليلات البعدية تعطي دائمًا آثارًا أصغر من الدراسات المفردة التي تضمها
Bلأن التحليلات البعدية لا يمكنها تضمين التجارب العشوائية
Cلأن الجمع بين الدراسات يزيل دائمًا كل التحيّز
Dلأن تحيّز النشر يعني أن دراسات صفرية غير منشورة قد تكون مفقودة

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 16, 26, 48, 52, 16.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 75. ما نسبة P القيم الأكبر من 440؟

μ = 500σ = 75x = 440

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,2, 0,2, 0,3

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 10X + 5. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 10X + 5

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,2843. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,2843

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 75% منها (المئين 75).

μ = 500σ = 40P = 75%

x = h

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 6 مفردة متوسطها 22 وانحرافها المعياري s = 20. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 6x̄ = 22s = 2095%t(5) = 2,571

الحد الأدنى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 13. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 2 على الأكثر؟

σ = 13E = 299%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 10 طالبًا، متوسط الدرجة 46,5، الانحراف المعياري 4,5. المجموعة 2: 6 طالبًا، متوسط الدرجة 38,4، الانحراف المعياري 11. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).

n₁ = 10x̄₁ = 46,5s₁ = 4,5n₂ = 6x̄₂ = 38,4s₂ = 11

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,01 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 5 وحدة بقوة 95%. الانحراف المعياري 28. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,01القوة = 95%δ = 5σ = 28z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 35Σy = 320Σx² = 285Σy² = 21098Σxy = 2396

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 4.

n = 6x = 4

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الموظفون، الحافلة».

مجموع الصف = 71مجموع العمود = 43N = 161

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 5 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²_crit عند مستوى الدلالة α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · معاينة كرة الثلج

لماذا هذه هي الإجابة

معاينة كرة الثلج مفيدة للمجموعات التي يصعب الوصول إليها، لكن من المرجح أن تتشارك العينة خصائص معينة فلا تكون ممثِّلة.

الإجابة

B · معاينة كرة الثلج

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · لأن تحيّز النشر يعني أن دراسات صفرية غير منشورة قد تكون مفقودة

لماذا هذه هي الإجابة

إذا كانت النتائج الصفرية تُنشر أقل، فإن الأثر المجمَّع يتضخم. وتساعد مخططات القمع (funnel plots) والبحث عن البيانات غير المنشورة على كشف ذلك وتقليله.

الإجابة

D · لأن تحيّز النشر يعني أن دراسات صفرية غير منشورة قد تكون مفقودة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 17,34

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 158/5 = 31,6

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−15,6)² + (−5,6)² + 16,4² + 20,4² + (−15,6)² = 1203

الانحراف المعياري

s = √(1203/4) = 17,34

الإجابة

s = 17,34

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,7881

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −0,8

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 145

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 10·0,3 + 20·0,2 + 30·0,2 + 40·0,3 = 25

متوسط المربعات

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,2 + 900·0,2 + 1600·0,3 = 770

التباين

Var(X) = 770 − 25² = 145

الإجابة

Var(X) = 145

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 8,367

تشتت X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

التغيير الخطي

σ_Y = |10|·0,8367 = 8,367

الإجابة

σ_Y = 8,367

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 10·1 + 5 = 15.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 0,57

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,2843 = 0,7157

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,7157 داخل الجدول واقرأ z.

z = 0,57

الإجابة

z = 0,57

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 527 h

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

العودة إلى x

x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h

الإجابة

x = 526,98 h

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 1,008

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 5, t = 2,571

هامش الخطأ

E = 2,571·20/√6 = 20,99

الفترة

22 ± 20,99 → [1,008, 42,99]

الإجابة

الحد الأدنى = 1,008

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 281

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·13/2)² = 280,4

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 281

الإجابة

n = 281

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,092

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

التباين المجمَّع

s_p² = (9·4,5² + 5·11²)/14 = 56,23

s_p = 7,499

الخطأ المعياري

SE = 7,499·√(1/10 + 1/6) = 3,872

إحصائية الاختبار

t = (46,5 − 38,4)/3,872 = 2,092

الإجابة

t = 2,092

مع df = 14، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,145؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 495

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((2,326 + 1,645)·28/5)² = 494,5

قرّب إلى الأعلى

n = 495

الإجابة

n = 495

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9922

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 2396 − 35·320/5 = 156

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 21098 − 320²/5 = 618

معامل الارتباط

r = 156/√(40·618) = 0,9922

الإجابة

r = 0,9922

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 34,44

المتوسطات

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 256/6 = 42,67

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144

خط الانحدار

b = 144/70 = 2,057

a = 42,67 − 2,057·8 = 26,21

ŷ = 26,21 + 2,057·x

التنبؤ

ŷ = 26,21 + 2,057·4 = 34,44

الإجابة

ŷ = 34,44

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 18,96

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 71·43/161 = 18,96

الإجابة

E = 18,96

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²_crit = 13,28

درجات الحرية

df = 5 − 1 = 4

الجدول

χ²_crit(df = 4, α = 0,01) = 13,277

الإجابة

χ²_crit = 13,277

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology