الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
يتضمن ثبات التجزئة النصفية:
- Aمقارنة الدرجات على نصفي الاختبار نفسه للتحقق من الاتساق الداخلي
- Bاختبار نصفي العينة في أوقات مختلفة
- Cتقسيم العينة إلى مجموعة تجريبية ومجموعة ضابطة ومقارنة درجاتهما
- Dاستخدام ملاحظَين لنصف الجلسات لكل منهما
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
لماذا يرى باحثون كثيرون أنه ينبغي الإبلاغ عن قيم p مع أحجام الأثر وفترات الثقة؟
- Aلأن أحجام الأثر تجعل حجم العينة غير مؤثر في الدلالة
- Bلأن قيم p تُظهر احتمال صحة الفرضية
- Cلأن فترات الثقة لا تلزم إلا في البحث النوعي
- Dلأن قيمة p لا تُظهر حجم الأثر أو دقته
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 20, 38, 52, 36, 11.
n = 5
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 25. ما نسبة P القيم الأقل من 462,5؟
μ = 500σ = 25x = 462,5
P =
5.الاحتمالمتوسطة
يحتوي كيس على 8 كرات حمراء و9 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟
8 / 9
P =
6.الاحتمالصعبة
يُختبر 8 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,4. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 8p = 0,4
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 76 و 127,75 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 100σ = 15x1 = 76x2 = 127,75
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,04 mm وانحراف معياري 0,01 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,015 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
الثقب: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 12 مفردة متوسطها 87,5 وانحرافها المعياري s = 17. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 95% للمتوسط.
n = 12x̄ = 87,5s = 1795%t(11) = 2,201
E =
10.فترات الثقةصعبة
لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للنسبة 0,02 على الأكثر؟
p = 0,5E = 0,0299%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 10 طالبًا، متوسط الدرجة 105، الانحراف المعياري 8,5. المجموعة 2: 7 طالبًا، متوسط الدرجة 94,5، الانحراف المعياري 9,5. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).
n₁ = 10x̄₁ = 105s₁ = 8,5n₂ = 7x̄₂ = 94,5s₂ = 9,5
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 36 قياسًا متوسطها 198,3. الانحراف المعياري للمجتمع 4. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 90% للمتوسط.
x̄ = 198,3σ = 4n = 3690%
L =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 5
r² =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 76؟
n = 6ŷ = 76
x =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 1202 × 3
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 11 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: A · مقارنة الدرجات على نصفي الاختبار نفسه للتحقق من الاتساق الداخلي
لماذا هذه هي الإجابة
إذا كان النصفان يقيسان البنية نفسها فيجب أن ترتبط الدرجات عليهما ارتباطًا مرتفعًا. ويوسّع معامل ألفا كرونباخ هذه الفكرة إلى جميع التجزئات الممكنة.
الإجابة
A · مقارنة الدرجات على نصفي الاختبار نفسه للتحقق من الاتساق الداخلي
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · لأن قيمة p لا تُظهر حجم الأثر أو دقته
لماذا هذه هي الإجابة
تتوقف قيمة p كثيرًا على حجم العينة، ولا تدل إلا على مدى إثارة البيانات للدهشة في ظل الفرضية الصفرية. أما أحجام الأثر فتُظهر المقدار، والفترات تُظهر الدقة.
الإجابة
D · لأن قيمة p لا تُظهر حجم الأثر أو دقته
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 16,09
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 157/5 = 31,4
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−11,4)² + 6,6² + 20,6² + 4,6² + (−20,4)² = 1035
الانحراف المعياري
s = √(1035/4) = 16,09
الإجابة
s = 16,09
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,06681
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = −1,5
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
الإجابة
P = 0,06681
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,2059
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
السحبة الأولى والثانية
P = 8/17 · 7/16 = 56/272 = 0,2059
الإجابة
P = 0,2059
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,1064
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,68 = 0,0168
P(X = 1) = 8·0,4·0,67 = 0,08958
اجمعها
P = 0,0168 + 0,08958 = 0,1064
الإجابة
P = 0,1064
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,913
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (76 − 100)/15 = −1,6
z₂ = (127,75 − 100)/15 = 1,85
المساحة بين القيمتين
P = Φ(1,85) − Φ(−1,6) = 0,9678 − 0,0548 = 0,913
الإجابة
P = 0,913
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,9868
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع الفرق
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22
الاحتمال
P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868
الإجابة
P = 0,9868
9.فترات الثقة
الإجابة: E = 10,8
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 11, t = 2,201
هامش الخطأ
E = 2,201·17/√12 = 10,8
الإجابة
E = 10,8
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 4148
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
حُلّ لإيجاد n
n = 2,576²·0,5·0,5/0,02² = 4147
قرّب إلى الأعلى
n = 4148
الإجابة
n = 4148
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 2,39
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
التباين المجمَّع
sp² = (9·8,5² + 6·9,5²)/15 = 79,45
sp = 8,913
الخطأ المعياري
SE = 8,913·√(1/10 + 1/7) = 4,393
إحصائية الاختبار
t = (105 − 94,5)/4,393 = 2,39
الإجابة
t = 2,39
مع df = 15، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,131؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: L = 197,2
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 1,645·4/√36 = 1,097
حد الفترة
L = 198,3 − 1,097 = 197,2
الإجابة
L = 197,2
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,7035
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 108/5 = 21,6
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −11
Syy = Σ(y − ȳ)² = 17,2
معامل التحديد
r² = −11²/(10·17,2) = 0,7035
الإجابة
r² = 0,7035
نحو 70,35% من التباين في y يفسّره الخط.
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 23,01
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 416/6 = 69,33
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 232
خط الانحدار
b = 232/70 = 3,314
a = 69,33 − 3,314·21 = −0,2667
ŷ = −0,2667 + 3,314·x
حلّ لإيجاد x
x = (76 − (−0,2667))/3,314 = 23,01
الإجابة
x = 23,01
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 0,628
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
حضري: 40·24/120 = 8, 40·54/120 = 18, 40·42/120 = 14
ريفي: 80·24/120 = 16, 80·54/120 = 36, 80·42/120 = 28
إحصاءة مربع كاي
χ² = (9 − 8)²/8 + (16 − 18)²/18 + (15 − 14)²/14 + (15 − 16)²/16 + (38 − 36)²/36 + (27 − 28)²/28
χ² = 0,628
الإجابة
χ² = 0,628
df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ²crit = 23,21
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 11 − 1 = 10
الجدول
χ²crit(df = 10, α = 0,01) = 23,209
الإجابة
χ²crit = 23,209
ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology