مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

تُستخدم التعليمات المعيارية في التجربة بحيث:

Aيستطيع الباحث تكييف الإجراء بما يناسب احتياجات كل مشارك
Bيستطيع المشاركون اختيار شروطهم
Cتصبح النتائج دالة إحصائيًا
Dيتلقى جميع المشاركين المعلومات نفسها بالطريقة نفسها

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يجمع باحث بيانات في تسع نقاط زمنية ويختبر في كل مرة عند مستوى 5% دون تصحيح. ما المشكلة؟

Aلا توجد مشكلة في هذا الأسلوب
Bتصبح البيانات أكثر ثباتًا في كل مرة، فيكون الاختبار الأخير الأدق
Cيرتفع احتمال الحصول على نتيجة إيجابية كاذبة واحدة على الأقل كثيرًا فوق 5%
Dينخفض حجم التأثير مع كل اختبار

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 46, 33, 38, 59, 11, 14.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 75. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 530.

μ = 500σ = 75x = 530

z =

5.الاحتمالمتوسطة

بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 4 أشخاص من مجموعة من 9؟ الترتيب غير مهم.

n = 9k = 4

N =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €2 للمشاركة. تربح €10 باحتمال 0,2 و€20 باحتمال 0,02؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €2€10: p = 0,2€20: p = 0,02

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 250 g وانحراف معياري 4 g؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 500 g وانحراف معياري 9 g. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 754,9 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 754,9 g

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 60% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 178 cmσ = 7 cm60%

x = cm

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 6 مفردة متوسطها 106,5 وانحرافها المعياري s = 5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 6x̄ = 106,5s = 590%t(5) = 2,015

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

لأقطار 16 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 1,9 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأدنى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 15، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 6,262 و 2,5% فوق 27,488.

n = 16s = 1,9 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 49 طالبًا متوسط درجاتها 501,2 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 501,2s = 5n = 49

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,01 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 3 وحدة بقوة 90%. الانحراف المعياري 22. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,01القوة = 90%δ = 3σ = 22z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 147Σy = 334Σx² = 3759Σy² = 20640Σxy = 8741

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 4.

n = 6x = 4

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «المناوبة الليلية، كبير».

مجموع الصف = 73مجموع العمود = 60N = 184

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 2 صفوف و 4 أعمدة (دون احتساب المجاميع). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²_crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · يتلقى جميع المشاركين المعلومات نفسها بالطريقة نفسها

لماذا هذه هي الإجابة

يزيل التقنين التباين في الإجراء بوصفه متغيرًا دخيلًا ويجعل الدراسة قابلة للإعادة.

الإجابة

D · يتلقى جميع المشاركين المعلومات نفسها بالطريقة نفسها

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · يرتفع احتمال الحصول على نتيجة إيجابية كاذبة واحدة على الأقل كثيرًا فوق 5%

لماذا هذه هي الإجابة

مع تسعة اختبارات مستقلة يبلغ احتمال وقوع خطأ واحد على الأقل من النوع الأول نحو 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. وتعالج تصحيحات مثل بونفيروني ذلك.

الإجابة

C · يرتفع احتمال الحصول على نتيجة إيجابية كاذبة واحدة على الأقل كثيرًا فوق 5%

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 18,51

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 201/6 = 33,5

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 12,5² + (−0,5)² + 4,5² + 25,5² + (−22,5)² + (−19,5)² = 1714

الانحراف المعياري

s = √(1714/5) = 18,51

الإجابة

s = 18,51

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 0,4

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (530 − 500)/75 = 0,4

الإجابة

z = 0,4

5.الاحتمال

الإجابة: N = 126

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

التوافيق

C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126

الإجابة

N = 126

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 0,4 €

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

النتائج الصافية

G: 8 (p = 0,2), 18 (p = 0,02), −2 (p = 0,78)

القيمة المتوقعة

E(G) = 8·0,2 + 18·0,02 − 2·0,78 = 0,4 €

الإجابة

E(G) = 0,4 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,3085

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (754,9 − 750)/9,849 = 0,5

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085

الإجابة

P = 0,3085

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 179,8 cm

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,6

z من الجدول

z ≈ 0,25

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm

الإجابة

x = 179,8 cm

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 110,6

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 5, t = 2,015

هامش الخطأ

E = 2,015·5/√6 = 4,113

الفترة

106,5 ± 4,113 → [102,4, 110,6]

الإجابة

الحد الأعلى = 110,6

10.فترات الثقة

الإجابة: σ = 1,404 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 15·1,9² = 54,15

حدّا σ²

54,15/27,488 = 1,97

54,15/6,262 = 8,647

حدّ σ

σ = √1,97 = 1,404 µm

الإجابة

σ = 1,404 µm

فترة 95% لـ σ: [1,404, 2,941] µm.

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,68

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143

إحصائية الاختبار

t = (501,2 − 500)/0,7143 = 1,68

الإجابة

t = 1,68

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 701

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((2,326 + 1,282)·22/3)² = 700,1

قرّب إلى الأعلى

n = 701

الإجابة

n = 701

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9827

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 8741 − 147·334/6 = 558

S_xx = 3759 − 147²/6 = 157,5

S_yy = 20640 − 334²/6 = 2047

معامل الارتباط

r = 558/√(157,5·2047) = 0,9827

الإجابة

r = 0,9827

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 62,4

المتوسطات

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 439/6 = 73,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 377

خط الانحدار

b = 377/70 = 5,386

a = 73,17 − 5,386·6 = 40,85

ŷ = 40,85 + 5,386·x

التنبؤ

ŷ = 40,85 + 5,386·4 = 62,4

الإجابة

ŷ = 62,4

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 23,8

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 73·60/184 = 23,8

الإجابة

E = 23,8

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²_crit = 7,815

درجات الحرية

df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3

الجدول

χ²_crit(df = 3, α = 0,05) = 7,815

الإجابة

χ²_crit = 7,815

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology