مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يقارن باحث عدوانية الأطفال قبل وصول التلفزيون إلى بلدة نائية وبعده، ولم يتحكم الباحث في وصول التلفزيون. هذه:

Aتجربة طبيعية
Bتجربة ميدانية
Cمسح ارتباطي لمشاهدة التلفزيون
Dتجربة مختبرية

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

أي اختبار لامعلمي يقارن عيّنتين مرتبطتين، مثل درجات قبل وبعد على مقياس رتبي؟

Aاختبار ويلكوكسون للرتب ذات الإشارة
Bاختبار مان-ويتني U
Cاختبار مربع كاي للاستقلال
Dاختبار t للعيّنات المستقلة

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 29, 20, 33, 60, 54, 60, 40.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 12. ما نسبة P القيم الأكبر من 38؟

μ = 50σ = 12x = 38

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,2, 0,25, 0,1, 0,1

σ =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 0,5X + 1. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,35, 0,25, 0,15Y = 0,5X + 1

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,6372. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,6372

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 5% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 178 cmσ = 7 cm5%

x = cm

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 8 مفردة متوسطها 103,5 وانحرافها المعياري s = 19,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 8x̄ = 103,5s = 19,599%t(7) = 3,499

الحد الأدنى =

10.فترات الثقةصعبة

تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,2 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للنسبة 0,03 على الأكثر؟

p ≈ 0,2E = 0,0390%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 100؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 18. متوسط عينة عشوائية من 144 مشاهدة هو 98,38. اختبر H₀: μ = 100 مقابل H₁: μ < 100. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 100σ = 18n = 144x̄ = 98,38H₁: μ < μ₀

p =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 50 مقابل H₁: μ < 50 عند α = 0.10 بعينة من 100؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 15. في الواقع المتوسط 45.95. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 50μ = 45,95σ = 15n = 100α = 0,10

1 − β = %

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 10.

n = 6x = 10

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1602 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 5 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²_crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · تجربة طبيعية

لماذا هذه هي الإجابة

في التجربة الطبيعية يتغير المتغير المستقل بسبب أحداث خارجة عن تحكم الباحث. ويكون الصدق البيئي مرتفعًا، لكن التوزيع العشوائي غير ممكن.

الإجابة

A · تجربة طبيعية

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · اختبار ويلكوكسون للرتب ذات الإشارة

لماذا هذه هي الإجابة

اختبار ويلكوكسون مخصص للبيانات الرتبية المزدوجة، واختبار مان-ويتني U هو نظيره للمجموعات المستقلة.

الإجابة

A · اختبار ويلكوكسون للرتب ذات الإشارة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 15,97

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 296/7 = 42,29

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−13,29)² + (−22,29)² + (−9,286)² + 17,71² + 11,71² + 17,71² + (−2,286)² = 1529

الانحراف المعياري

s = √(1529/6) = 15,97

الإجابة

s = 15,97

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,8413

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 1,319

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,35 + 1·0,2 + 2·0,25 + 3·0,1 + 4·0,1 = 1,4

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,2 + 4·0,25 + 9·0,1 + 16·0,1 = 3,7

التباين

Var(X) = 3,7 − 1,4² = 1,74

σ = √1,74 = 1,319

الإجابة

σ = 1,319

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 0,5025

تشتت X

μ = 1,3, Var(X) = 1,01, σ_X = 1,005

التغيير الخطي

σ_Y = |0,5|·1,005 = 0,5025

الإجابة

σ_Y = 0,5025

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 0,5·1,3 + 1 = 1,65.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 0,91

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,6372)/2 = 0,8186

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,8186 داخل الجدول واقرأ z.

z = 0,91

الإجابة

z = 0,91

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 166,5 cm

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,05

z من الجدول

z ≈ −1,64

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 178 − 1,64·7 = 166,5 cm

الإجابة

x = 166,5 cm

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 79,38

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 7, t = 3,499

هامش الخطأ

E = 3,499·19,5/√8 = 24,12

الفترة

103,5 ± 24,12 → [79,38, 127,6]

الإجابة

الحد الأدنى = 79,38

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 482

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,645²·0,2·0,8/0,03² = 481,1

قرّب إلى الأعلى

n = 482

الإجابة

n = 482

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,1401

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 18/√144 = 1,5

z = (98,38 − 100)/1,5 = −1,08

مساحة الذيل

Φ(1,08) = 0,8599

1 − Φ(1,08) = 0,1401

القيمة الاحتمالية

p = 0,1401

الإجابة

p = 0,1401

p > 0,05، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 92,19 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 15/√100 = 1,5

x̄_c = 50 − 1,282·1,5 = 48,08

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (48,08 − 45,95)/1,5 = 1,418

القدرة

القوة = P(Z < 1.418) = 92.19%

1 − β = 92,19%

الإجابة

1 − β = 92,19%

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9778

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 275/5 = 55

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 266

معامل التحديد

r² = 102²/(40·266) = 0,9778

الإجابة

r² = 0,9778

نحو 97,78% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 82,86

المتوسطات

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 360/6 = 60

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 400

خط الانحدار

b = 400/70 = 5,714

a = 60 − 5,714·6 = 25,71

ŷ = 25,71 + 5,714·x

التنبؤ

ŷ = 25,71 + 5,714·10 = 82,86

الإجابة

ŷ = 82,86

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 8,63

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الطلاب: 40·24/160 = 6, 40·64/160 = 16, 40·72/160 = 18

الموظفون: 120·24/160 = 18, 120·64/160 = 48, 120·72/160 = 54

إحصاءة مربع كاي

χ² = (4 − 6)²/6 + (10 − 16)²/16 + (26 − 18)²/18 + (20 − 18)²/18 + (54 − 48)²/48 + (46 − 54)²/54

χ² = 8,63

الإجابة

χ² = 8,63

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²_crit = 9,488

درجات الحرية

df = 5 − 1 = 4

الجدول

χ²_crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488

الإجابة

χ²_crit = 9,488

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology