مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يحدث خطأ من النوع الأول عندما يقوم الباحث بـ:

Aجمع بيانات كثيرة جدًا
Bرفض فرضية صفرية صحيحة في الواقع
Cعدم رفض فرضية صفرية خاطئة
Dاستخدام اختبار إحصائي غير مناسب

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يسجل ملاحِظان الأفعال العدوانية في ملعب، ويبلغ الارتباط بين عدّيهما r = 0,45. ماذا يجب أن يفعل الباحث؟

Aتنقيح فئات السلوك وتدريب الملاحِظين، ثم إعادة فحص الاتفاق
Bاستخدام العدّ الأعلى من العدّين فقط
Cقبول البيانات لأن أي ارتباط موجب يكفي
Dالتحول إلى فرضية أحادية الطرف

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 15, 25, 15, 15, 49.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 12. ما نسبة P القيم الأكبر من 158؟

μ = 170σ = 12x = 158

P =

5.الاحتمالمتوسطة

بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 3 أشخاص من مجموعة من 7؟ الترتيب غير مهم.

n = 7k = 3

N =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 10X + 10. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,35, 0,2, 0,35Y = 10X + 10

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل أكياس الإسمنت مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 kg وانحراف معياري 0,5 kg. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 10 منها 251,6 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 10> 251,6 kg

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 25 مفردة متوسطها 13 وانحرافها المعياري s = 1. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 25x̄ = 13s = 190%t(24) = 1,711

الحد الأدنى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 11. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 2,5 على الأكثر؟

σ = 11E = 2,590%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 100 طالبًا متوسط درجاتها 121 وانحرافها المعياري 4. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121s = 4n = 100

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 70 من 100 مريضًا على العلاج A، و 132 من 200 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 70n₁ = 100x₂ = 132n₂ = 200

z =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 15Σy = 85Σx² = 55Σy² = 1475Σxy = 238

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 77؟

n = 5ŷ = 77

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1402 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 5 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²_crit عند مستوى الدلالة α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · رفض فرضية صفرية صحيحة في الواقع

لماذا هذه هي الإجابة

يدّعي خطأ النوع الأول وجود تأثير غير موجود، واحتماله يساوي مستوى الدلالة (غالبًا 0,05). أما خطأ النوع الثاني فيُغفل تأثيرًا حقيقيًا.

الإجابة

B · رفض فرضية صفرية صحيحة في الواقع

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · تنقيح فئات السلوك وتدريب الملاحِظين، ثم إعادة فحص الاتفاق

لماذا هذه هي الإجابة

يعني الثبات المنخفض بين الملاحِظين أن الفئات تُطبَّق بعدم اتساق. ويجب أن ترفع التعريفات الإجرائية الأوضح وجلسات التدريب الاتفاقَ قبل جمع البيانات الرئيسي.

الإجابة

A · تنقيح فئات السلوك وتدريب الملاحِظين، ثم إعادة فحص الاتفاق

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 14,74

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 119/5 = 23,8

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−8,8)² + 1,2² + (−8,8)² + (−8,8)² + 25,2² = 868,8

الانحراف المعياري

s = √(868,8/4) = 14,74

الإجابة

s = 14,74

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,8413

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413

5.الاحتمال

الإجابة: N = 35

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

التوافيق

C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35

الإجابة

N = 35

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 10,3

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 1,8, Var(X) = 1,06, σ_X = 1,03

التغيير الخطي

σ_Y = |10|·1,03 = 10,3

الإجابة

σ_Y = 10,3

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 10·1,8 + 10 = 28.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,1562

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 250 kg, σ_T = 0,5·√10 = 1,581 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (251,6 − 250)/1,581 = 1,01

الاحتمال

P = 1 − Φ(1,01) = 0,1562

الإجابة

P = 0,1562

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

توزيع الفرق

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 4)/5 = −0,8

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 12,66

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 24, t = 1,711

هامش الخطأ

E = 1,711·1/√25 = 0,3422

الفترة

13 ± 0,3422 → [12,66, 13,34]

الإجابة

الحد الأدنى = 12,66

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 53

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·11/2,5)² = 52,39

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 53

الإجابة

n = 53

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,5

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

إحصائية الاختبار

t = (121 − 120)/0,4 = 2,5

الإجابة

t = 2,5

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = 0,6964

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

نسبتا العينتين

p̂₁ = 70/100 = 0,7

p̂₂ = 132/200 = 0,66

p̂ = 202/300 = 0,6733

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,6733·0,3267·(1/100 + 1/200)) = 0,05744

إحصائية الاختبار

z = (0,7 − 0,66)/0,05744 = 0,6964

الإجابة

z = 0,6964

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = −0,9815

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 238 − 15·85/5 = −17

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1475 − 85²/5 = 30

معامل الارتباط

r = −17/√(10·30) = −0,9815

الإجابة

r = −0,9815

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 8,025

المتوسطات

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 354/5 = 70,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 242

خط الانحدار

b = 242/40 = 6,05

a = 70,8 − 6,05·7 = 28,45

ŷ = 28,45 + 6,05·x

حلّ لإيجاد x

x = (77 − 28,45)/6,05 = 8,025

الإجابة

x = 8,025

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 8,61

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الطلاب: 100·70/140 = 50, 100·35/140 = 25, 100·35/140 = 25

الموظفون: 40·70/140 = 20, 40·35/140 = 10, 40·35/140 = 10

إحصاءة مربع كاي

χ² = (43 − 50)²/50 + (31 − 25)²/25 + (26 − 25)²/25 + (27 − 20)²/20 + (4 − 10)²/10 + (9 − 10)²/10

χ² = 8,61

الإجابة

χ² = 8,61

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²_crit = 11,35

درجات الحرية

df = 5 − 1 − 1 = 3

الجدول

χ²_crit(df = 3, α = 0,01) = 11,345

الإجابة

χ²_crit = 11,345

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology