الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
في التجربة الميدانية، يقوم الباحث بـ:
- Aالتلاعب بالمتغير المستقل في مختبر
- Bالتلاعب بالمتغير المستقل في بيئة واقعية
- Cالملاحظة فقط دون التلاعب بأي شيء
- Dتحليل بيانات جمعها آخرون
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
زيادة حجم العيّنة في دراسة تؤدي بشكل مباشر أكثر إلى:
- Aزيادة حجم التأثير
- Bإزالة كل تحيّز من العيّنة
- Cزيادة القوة الإحصائية لاكتشاف تأثير حقيقي
- Dيضمن نتيجة دالة إحصائيًا إن وُجد أي تأثير
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 23, 49, 29, 57, 24, 33.
n = 6
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 5. ما نسبة P القيم الأكبر من 95؟
μ = 100σ = 5x = 95
P =
5.الاحتمالمتوسطة
يحتوي كيس على 4 كرات حمراء و8 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟
4 / 8
P =
6.الاحتمالصعبة
يُختبر 9 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,1. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 9p = 0,1
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,0465. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,0465
z =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.فترات الثقةمتوسطة
يُقاس ضغط الدم لـ 10 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها −3,2 وانحرافها المعياري 6. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% لمتوسط الفروق.
n = 10d̄ = −3,2sd = 699%t(9) = 3,25
الحد الأدنى = mmHg
10.فترات الثقةصعبة
تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,7 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للنسبة 0,04 على الأكثر؟
p ≈ 0,7E = 0,0499%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
يُزعم أن متوسط مجتمع ما 50؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 6. متوسط عينة عشوائية من 144 مشاهدة هو 50,93. اختبر H₀: μ = 50 مقابل H₁: μ > 50. أوجد القيمة الاحتمالية p.
μ₀ = 50σ = 6n = 144x̄ = 50,93H₁: μ > μ₀
p =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 200 مقابل H₁: μ > 200 عند α = 0,10 بعينة من 64؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 20. في الواقع المتوسط 202,75. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.
μ₀ = 200μ = 202,75σ = 20n = 64α = 0,10
1 − β = %
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 6
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 20؟
n = 6ŷ = 20
x =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «المناوبة الليلية، طفيف».
مجموع الصف = 119مجموع العمود = 43N = 184
E =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 8 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: B · التلاعب بالمتغير المستقل في بيئة واقعية
لماذا هذه هي الإجابة
تزيد التجارب الميدانية، مثل مواقف المساعدة المدبّرة في الشارع، الصدقَ البيئي لكنها تمنح تحكمًا أقل في المتغيرات الدخيلة وتثير مسائل تتعلق بالموافقة.
الإجابة
B · التلاعب بالمتغير المستقل في بيئة واقعية
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · زيادة القوة الإحصائية لاكتشاف تأثير حقيقي
لماذا هذه هي الإجابة
تقلّل العيّنات الأكبر الخطأ المعياري فتزيد القوة، لكنها لا تغيّر حجم التأثير الحقيقي ولا تزيل التحيّز المنهجي.
الإجابة
C · زيادة القوة الإحصائية لاكتشاف تأثير حقيقي
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 14,01
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 215/6 = 35,83
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−12,83)² + 13,17² + (−6,833)² + 21,17² + (−11,83)² + (−2,833)² = 980,8
الانحراف المعياري
s = √(980,8/5) = 14,01
الإجابة
s = 14,01
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,8413
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = −1
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
الإجابة
P = 0,8413
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,09091
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
السحبة الأولى والثانية
P = 4/12 · 3/11 = 12/132 = 0,09091
الإجابة
P = 0,09091
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,7748
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,99 = 0,3874
P(X = 1) = 9·0,1·0,98 = 0,3874
اجمعها
P = 0,3874 + 0,3874 = 0,7748
الإجابة
P = 0,7748
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = 1,68
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = 1 − 0,0465 = 0,9535
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,9535 داخل الجدول واقرأ z.
z = 1,68
الإجابة
z = 1,68
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,7881
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع الفرق
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (0 − 4)/5 = −0,8
الاحتمال
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
الإجابة
P = 0,7881
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأدنى = −9,366 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
القيمة الحرجة
df = 9, t = 3,25
هامش الخطأ
E = 3,25·6/√10 = 6,166
الفترة
−3,2 ± 6,166 → [−9,366, 2,966]
الإجابة
الحد الأدنى = −9,366 mmHg
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 871
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
حُلّ لإيجاد n
n = 2,576²·0,7·0,3/0,04² = 870,9
قرّب إلى الأعلى
n = 871
الإجابة
n = 871
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: p = 0,03144
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
إحصائية الاختبار
SE = σ/√n = 6/√144 = 0,5
z = (50,93 − 50)/0,5 = 1,86
مساحة الذيل
Φ(1,86) = 0,9686
1 − Φ(1,86) = 0,0314
القيمة الاحتمالية
p = 0,03144
الإجابة
p = 0,03144
p ≤ 0,05، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: 1 − β = 42,78 %
قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
متوسط العينة الحرج
SE = 20/√64 = 2,5
x̄c = 200 + 1,282·2,5 = 203,2
z وفق المتوسط الحقيقي
z = (203,2 − 202,75)/2,5 = 0,182
القدرة
القوة = P(Z > 0,182) = 42,78%
1 − β = 42,78%
الإجابة
1 − β = 42,78%
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9908
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 412/6 = 68,67
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 382
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2123
معامل الارتباط
r = 382/√(70·2123) = 0,9908
الإجابة
r = 0,9908
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 3,843
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 123/6 = 20,5
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25,5
خط الانحدار
b = −25,5/17,5 = −1,457
a = 20,5 − (−1,457)·3,5 = 25,6
ŷ = 25,6 − 1,457·x
حلّ لإيجاد x
x = (20 − 25,6)/(−1,457) = 3,843
الإجابة
x = 3,843
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: E = 27,81
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرار المتوقَّع
E = 119·43/184 = 27,81
الإجابة
E = 27,81
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ²crit = 12,59
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 8 − 1 − 1 = 6
الجدول
χ²crit(df = 6, α = 0,05) = 12,592
الإجابة
χ²crit = 12,592
ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology