الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
معامل ألفا كرونباخ البالغ 0,88 لمقياس قلق من 15 بندًا يدل على:
- Aأن للمقياس تأثيرًا دالًا في القلق
- Bأن الدرجات مستقرة على مدى ستة أشهر
- Cأن المقياس يتنبأ جيدًا بالقلق المستقبلي
- Dاتساق داخلي جيد للبنود
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
تجد دراسة ارتباطًا قدره r = 0,05 بين الطول ومعدل الذكاء لدى لاعبي كرة السلة المحترفين فقط، رغم أنه أعلى في عموم السكان. ما الذي يفسر الارتباط الضعيف على أفضل نحو؟
- Aخصائص الطلب
- Bأثر السقف في اختبارات الذكاء
- Cالانحدار نحو المتوسط
- Dتقييد المدى
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 35, 40, 49, 46, 51.
n = 5
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 20. ما نسبة P القيم الأقل من 195؟
μ = 170σ = 20x = 195
P =
5.الاحتمالمتوسطة
يحتوي كيس على 8 كرات حمراء و3 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟
8 / 3
P =
6.الاحتمالصعبة
تكلفة لعبة €10 للمشاركة. تربح €20 باحتمال 0,1 و€500 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.
مبلغ المشاركة = €10€20: p = 0,1€500: p = 0,05
E(G) = €
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. ما النسبة التي تقع بين 26 و 37,1 min؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 32σ = 6x1 = 26x2 = 37,1
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 20 مفردة متوسطها 40,5 وانحرافها المعياري s = 15. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للمتوسط.
n = 20x̄ = 40,5s = 1590%t(19) = 1,729
الحد الأدنى =
10.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 23. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 3 على الأكثر؟
σ = 23E = 399%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 16 طالبًا متوسط درجاتها 116,9 وانحرافها المعياري 4. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 116,9s = 4n = 16
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
في تجربة سريرية، تعافى 88 من 250 مريضًا على العلاج A، و 32 من 80 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 88n₁ = 250x₂ = 32n₂ = 80
z =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 5
r² =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 57؟
n = 5ŷ = 57
x =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 1802 × 2
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 3 صفوف و 6 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟
3 × 6
df =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · اتساق داخلي جيد للبنود
لماذا هذه هي الإجابة
يقدّر ألفا كرونباخ الاتساق الداخلي، وتُعد القيم في حدود 0,7 أو أعلى مقبولة عادةً. ولا يُظهر وحده الصدق.
الإجابة
D · اتساق داخلي جيد للبنود
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · تقييد المدى
لماذا هذه هي الإجابة
عندما لا تغطي العينة إلا مدى ضيقًا من متغير ما، تضعف الارتباطات التي يدخل فيها. ولاعبو كرة السلة جميعهم طوال القامة، فالطول لا يتفاوت إلا قليلًا.
الإجابة
D · تقييد المدى
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 6,611
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 221/5 = 44,2
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−9,2)² + (−4,2)² + 4,8² + 1,8² + 6,8² = 174,8
الانحراف المعياري
s = √(174,8/4) = 6,611
الإجابة
s = 6,611
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,8944
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 1,25
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
الإجابة
P = 0,8944
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,5091
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
السحبة الأولى والثانية
P = 8/11 · 7/10 = 56/110 = 0,5091
الإجابة
P = 0,5091
6.الاحتمال
الإجابة: E(G) = 17 €
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
النتائج الصافية
G: 10 (p = 0,1), 490 (p = 0,05), −10 (p = 0,85)
القيمة المتوقعة
E(G) = 10·0,1 + 490·0,05 − 10·0,85 = 17 €
الإجابة
E(G) = 17 €
القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,6437
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (26 − 32)/6 = −1
z₂ = (37,1 − 32)/6 = 0,85
المساحة بين القيمتين
P = Φ(0,85) − Φ(−1) = 0,8023 − 0,1587 = 0,6437
الإجابة
P = 0,6437
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,7881
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع الفرق
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (0 − 4)/5 = −0,8
الاحتمال
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
الإجابة
P = 0,7881
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأدنى = 34,7
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 19, t = 1,729
هامش الخطأ
E = 1,729·15/√20 = 5,799
الفترة
40,5 ± 5,799 → [34,7, 46,3]
الإجابة
الحد الأدنى = 34,7
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 391
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (2,576·23/3)² = 390
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 391
الإجابة
n = 391
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −3,1
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
إحصائية الاختبار
t = (116,9 − 120)/1 = −3,1
الإجابة
t = −3,1
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = −0,7768
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
نسبتا العينتين
p̂₁ = 88/250 = 0,352
p̂₂ = 32/80 = 0,4
p̂ = 120/330 = 0,3636
الخطأ المعياري وفق H₀
SE = √(0,3636·0,6364·(1/250 + 1/80)) = 0,06179
إحصائية الاختبار
z = (0,352 − 0,4)/0,06179 = −0,7768
الإجابة
z = −0,7768
|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,7714
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 110/5 = 22
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18
Syy = Σ(y − ȳ)² = 42
معامل التحديد
r² = −18²/(10·42) = 0,7714
الإجابة
r² = 0,7714
نحو 77,14% من التباين في y يفسّره الخط.
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 2,122
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 344/5 = 68,8
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164
خط الانحدار
b = 164/40 = 4,1
a = 68,8 − 4,1·5 = 48,3
ŷ = 48,3 + 4,1·x
حلّ لإيجاد x
x = (57 − 48,3)/4,1 = 2,122
الإجابة
x = 2,122
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 0,9643
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
الرجال: 80·54/180 = 24, 80·126/180 = 56
النساء: 100·54/180 = 30, 100·126/180 = 70
إحصاءة مربع كاي
χ² = (27 − 24)²/24 + (53 − 56)²/56 + (27 − 30)²/30 + (73 − 70)²/70
χ² = 0,9643
الإجابة
χ² = 0,9643
df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: df = 10
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10
الإجابة
df = 10
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology