الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
تُستخدم التعليمات المعيارية في التجربة بحيث:
- Aتصبح النتائج دالة إحصائيًا
- Bيستطيع الباحث تكييف الإجراء بما يناسب احتياجات كل مشارك
- Cيستطيع المشاركون اختيار شروطهم
- Dيتلقى جميع المشاركين المعلومات نفسها بالطريقة نفسها
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
في البحث النوعي، تعني الانعكاسية (reflexivity) أن الباحث:
- Aيكرر الدراسة للتحقق من الثبات
- Bيحوّل المحاور إلى بيانات رقمية
- Cيتأمل في كيفية تأثير خلفيته وافتراضاته في التحليل
- Dيستخدم عينة عشوائية لإزالة التحيّز
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 60, 46, 14, 31, 21.
n = 5
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 15. ما نسبة P القيم الأقل من 30؟
μ = 60σ = 15x = 30
P =
5.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,25, 0,35, 0,2
Var(X) =
6.الاحتمالصعبة
للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 5X + 10. أوجد الانحراف المعياري σY للمتغير Y.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,15, 0,25, 0,3Y = 5X + 10
σY =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 85,75 و 103 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 100σ = 15x1 = 85,75x2 = 103
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 40% على يساره. أوجد حد القطع x.
μ = 178 cmσ = 7 cm40%
x = cm
9.فترات الثقةمتوسطة
يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 50 هاتفًا، المتوسط 106,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 6 h. الطراز 2: 50 هاتفًا، المتوسط 99 h، الانحراف المعياري المعلوم 10 h. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 50x̄₁ = 106,5 hσ₁ = 6 hn₂ = 50x̄₂ = 99 hσ₂ = 10 h90%
الحد الأدنى = h
10.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 12. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 2 على الأكثر؟
σ = 12E = 299%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 64 طالبًا متوسط درجاتها 201,5 وانحرافها المعياري 10. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 201,5s = 10n = 64
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 80 مقابل H₁: μ < 80 عند α = 0.01 بعينة من 25؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 15. في الواقع المتوسط 68. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.
μ₀ = 80μ = 68σ = 15n = 25α = 0,01
1 − β = %
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 5
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 39؟
n = 6ŷ = 39
x =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 1202 × 3
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 7 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · يتلقى جميع المشاركين المعلومات نفسها بالطريقة نفسها
لماذا هذه هي الإجابة
يزيل التقنين التباين في الإجراء بوصفه متغيرًا دخيلًا ويجعل الدراسة قابلة للإعادة.
الإجابة
D · يتلقى جميع المشاركين المعلومات نفسها بالطريقة نفسها
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · يتأمل في كيفية تأثير خلفيته وافتراضاته في التحليل
لماذا هذه هي الإجابة
تعترف الانعكاسية بتأثير الباحث في جمع البيانات وتفسيرها، وهي معيار جودة أساسي في العمل النوعي.
الإجابة
C · يتأمل في كيفية تأثير خلفيته وافتراضاته في التحليل
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 18,69
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 172/5 = 34,4
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 25,6² + 11,6² + (−20,4)² + (−3,4)² + (−13,4)² = 1397
الانحراف المعياري
s = √(1397/4) = 18,69
الإجابة
s = 18,69
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,02275
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = −2
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
الإجابة
P = 0,02275
5.الاحتمال
الإجابة: Var(X) = 4,19
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,2 + 2·0,25 + 4·0,35 + 6·0,2 = 3,1
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,2 + 4·0,25 + 16·0,35 + 36·0,2 = 13,8
التباين
Var(X) = 13,8 − 3,1² = 4,19
الإجابة
Var(X) = 4,19
6.الاحتمال
الإجابة: σY = 60,16
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
تشتت X
μ = 25,5, Var(X) = 144,8, σX = 12,03
التغيير الخطي
σY = |5|·12,03 = 60,16
الإجابة
σY = 60,16
المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 5·25,5 + 10 = 137,5.
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,4082
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (85,75 − 100)/15 = −0,95
z₂ = (103 − 100)/15 = 0,2
المساحة بين القيمتين
P = Φ(0,2) − Φ(−0,95) = 0,5793 − 0,1711 = 0,4082
الإجابة
P = 0,4082
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 176,3 cm
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على اليسار
Φ(z) = 0,4
z من الجدول
z ≈ −0,25
العودة إلى الوحدات الأصلية
x = 178 − 0,25·7 = 176,3 cm
الإجابة
x = 176,3 cm
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأدنى = 4,787 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
التقدير النقطي
x̄₁ − x̄₂ = 106,5 − 99 = 7,5
الخطأ المعياري
SE = √(6²/50 + 10²/50) = 1,649
هامش الخطأ
E = 1,645·1,649 = 2,713
الفترة
7,5 ± 2,713 → [4,787, 10,21]
الإجابة
الحد الأدنى = 4,787 h
الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 239
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (2,576·12/2)² = 238,9
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 239
الإجابة
n = 239
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 1,2
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25
إحصائية الاختبار
t = (201,5 − 200)/1,25 = 1,2
الإجابة
t = 1,2
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: 1 − β = 95,29 %
قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
متوسط العينة الحرج
SE = 15/√25 = 3
x̄c = 80 − 2,326·3 = 73,02
z وفق المتوسط الحقيقي
z = (73,02 − 68)/3 = 1,674
القدرة
القوة = P(Z < 1.674) = 95.29%
1 − β = 95,29%
الإجابة
1 − β = 95,29%
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = −0,6929
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 122/5 = 24,4
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −11
Syy = Σ(y − ȳ)² = 25,2
معامل الارتباط
r = −11/√(10·25,2) = −0,6929
الإجابة
r = −0,6929
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 6,462
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 219/6 = 36,5
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45,5
خط الانحدار
b = 45,5/17,5 = 2,6
a = 36,5 − 2,6·5,5 = 22,2
ŷ = 22,2 + 2,6·x
حلّ لإيجاد x
x = (39 − 22,2)/2,6 = 6,462
الإجابة
x = 6,462
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 5,1
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
المناوبة النهارية: 40·60/120 = 20, 40·30/120 = 10, 40·30/120 = 10
المناوبة الليلية: 80·60/120 = 40, 80·30/120 = 20, 80·30/120 = 20
إحصاءة مربع كاي
χ² = (24 − 20)²/20 + (11 − 10)²/10 + (5 − 10)²/10 + (36 − 40)²/40 + (19 − 20)²/20 + (25 − 20)²/20
χ² = 5,1
الإجابة
χ² = 5,1
df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ²crit = 11,07
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 7 − 1 − 1 = 5
الجدول
χ²crit(df = 5, α = 0,05) = 11,070
الإجابة
χ²crit = 11,070
ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology