الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
أي إحصاء مناسب للعلاقة بين مجموعتين من الرتب، مثل ترتيب الحكام للوحات؟
- Aاختبار t المستقل
- Bكاي تربيع
- Cمعامل سبيرمان (rho)
- Dمعامل بيرسون (r)
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
يستقطب قسم لعلم النفس المشاركين من مقررات علم النفس التمهيدية فقط، فيقول المنتقدون إن العينات «WEIRD». إلامَ يشير ذلك؟
- Aعينات غريبة على نحو غير عادي في سلوكها
- Bعينات مستقطبة بطرق عشوائية مرجّحة
- Cعينات تنسحب مبكرًا من الدراسات
- Dعينات غربية ومتعلمة وصناعية وغنية وديمقراطية قد لا تُعمَّم نتائجها
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 32, 35, 42, 46, 52, 16, 19.
n = 7
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 12. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 67,2.
μ = 60σ = 12x = 67,2
z =
5.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
Var(X) =
6.الاحتمالصعبة
تكلفة لعبة €5 للمشاركة. تربح €20 باحتمال 0,15 و€250 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.
مبلغ المشاركة = €5€20: p = 0,15€250: p = 0,05
E(G) = €
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
كتل المسامير الملولبة مستقلة وطبيعية بمتوسط 40 g وانحراف معياري 1,2 g. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 8 منها عن 318,3 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 8< 318.3 g
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,04 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,01 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
الثقب: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
9.فترات الثقةمتوسطة
يُقاس ضغط الدم لـ 10 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها −6,4 وانحرافها المعياري 1,2. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% لمتوسط الفروق.
n = 10d̄ = −6,4sd = 1,290%t(9) = 1,833
الحد الأعلى = mmHg
10.فترات الثقةصعبة
يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 7 قطعة، متوسط المحصول 75,5 kg، الانحراف المعياري 9,5 kg. مجموعة القطع 2: 5 قطعة، المتوسط 80,5 kg، الانحراف المعياري 2 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 7x̄₁ = 75,5s₁ = 9,5n₂ = 5x̄₂ = 80,5s₂ = 299%t(10) = 3,169
الحد الأدنى = kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 100 جزءًا متوسط طولها 99 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 16 mm. الخط 2: عينة من 80 جزءًا متوسطها 101 mm، والانحراف المعياري المعلوم 14 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).
n₁ = 100x̄₁ = 99 mmσ₁ = 16 mmn₂ = 80x̄₂ = 101 mmσ₂ = 14 mm
z =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 200 مقابل H₁: μ > 200 عند α = 0,10 بعينة من 25؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 5. في الواقع المتوسط 202,7. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.
μ₀ = 200μ = 202,7σ = 5n = 25α = 0,10
1 − β = %
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 6
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 23؟
n = 6ŷ = 23
x =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 1402 × 2
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 6 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · معامل سبيرمان (rho)
لماذا هذه هي الإجابة
يقيس ارتباط سبيرمان للرتب قوة العلاقة الرتيبة بين متغيرين مرتبين أو رتبيين.
الإجابة
C · معامل سبيرمان (rho)
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · عينات غربية ومتعلمة وصناعية وغنية وديمقراطية قد لا تُعمَّم نتائجها
لماذا هذه هي الإجابة
لاحظ Henrich وزملاؤه أن معظم المشاركين في علم النفس يأتون من مجتمعات WEIRD (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic)، وهي غير ممثِّلة للبشرية، مما يهدد صدق المجتمع.
الإجابة
D · عينات غربية ومتعلمة وصناعية وغنية وديمقراطية قد لا تُعمَّم نتائجها
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 13,44
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 242/7 = 34,57
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−2,571)² + 0,4286² + 7,429² + 11,43² + 17,43² + (−18,57)² + (−15,57)² = 1084
الانحراف المعياري
s = √(1084/6) = 13,44
الإجابة
s = 13,44
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = 0,6
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (67,2 − 60)/12 = 0,6
الإجابة
z = 0,6
5.الاحتمال
الإجابة: Var(X) = 0,7
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7
التباين
Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7
الإجابة
Var(X) = 0,7
6.الاحتمال
الإجابة: E(G) = 10,5 €
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
النتائج الصافية
G: 15 (p = 0,15), 245 (p = 0,05), −5 (p = 0,8)
القيمة المتوقعة
E(G) = 15·0,15 + 245·0,05 − 5·0,8 = 10,5 €
الإجابة
E(G) = 10,5 €
القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,3085
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع المجموع الكلي
μT = 320 g, σT = 1,2·√8 = 3,394 g
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (318,3 − 320)/3,394 = −0,5
الاحتمال
P = Φ(−0,5) = 0,3085
الإجابة
P = 0,3085
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,9633
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع الفرق
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79
الاحتمال
P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633
الإجابة
P = 0,9633
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = −5,704 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
القيمة الحرجة
df = 9, t = 1,833
هامش الخطأ
E = 1,833·1,2/√10 = 0,6956
الفترة
−6,4 ± 0,6956 → [−7,096, −5,704]
الإجابة
الحد الأعلى = −5,704 mmHg
10.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأدنى = −18,85 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
الانحراف المعياري المجمَّع
sp² = (6·9,5² + 4·2²)/10 = 55,75
sp = 7,467
هامش الخطأ
E = 3,169·7,467·√(1/7 + 1/5) = 13,85
الفترة
−5 ± 13,85 → [−18,85, 8,855]
الإجابة
الحد الأدنى = −18,85 kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = −0,8935
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
الخطأ المعياري للفرق
SE = √(16²/100 + 14²/80) = √5,01 = 2,238
إحصائية الاختبار
z = (99 − 101)/2,238 = −0,8935
الإجابة
z = −0,8935
|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: 1 − β = 92,19 %
قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
متوسط العينة الحرج
SE = 5/√25 = 1
x̄c = 200 + 1,282·1 = 201,3
z وفق المتوسط الحقيقي
z = (201,3 − 202,7)/1 = −1,418
القدرة
القوة = P(Z > −1,418) = 92,19%
1 − β = 92,19%
الإجابة
1 − β = 92,19%
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9928
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 453/6 = 75,5
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 405
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2378
معامل الارتباط
r = 405/√(70·2378) = 0,9928
الإجابة
r = 0,9928
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 3,701
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 141/6 = 23,5
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43,5
خط الانحدار
b = −43,5/17,5 = −2,486
a = 23,5 − (−2,486)·3,5 = 32,2
ŷ = 32,2 − 2,486·x
حلّ لإيجاد x
x = (23 − 32,2)/(−2,486) = 3,701
الإجابة
x = 3,701
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 2,24
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
الرجال: 40·70/140 = 20, 40·70/140 = 20
النساء: 100·70/140 = 50, 100·70/140 = 50
إحصاءة مربع كاي
χ² = (24 − 20)²/20 + (16 − 20)²/20 + (46 − 50)²/50 + (54 − 50)²/50
χ² = 2,24
الإجابة
χ² = 2,24
df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ²crit = 15,09
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 6 − 1 = 5
الجدول
χ²crit(df = 5, α = 0,01) = 15,086
الإجابة
χ²crit = 15,086
ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology