مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يحدث خطأ من النوع الأول عندما يقوم الباحث بـ:

Aاستخدام اختبار إحصائي غير مناسب
Bجمع بيانات كثيرة جدًا
Cرفض فرضية صفرية صحيحة في الواقع
Dعدم رفض فرضية صفرية خاطئة

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

في النظرية المجذّرة (grounded theory) يستمر جمع البيانات حتى:

Aتأكيد الفرضية الأصلية
Bالحصول على قيمة p أقل من 0,05
Cمقابلة 1,000 مشارك على الأقل
Dبلوغ التشبع النظري حين لا تضيف البيانات الجديدة فئات جديدة

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 21, 46, 11, 21, 15, 50, 17.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 10. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 56.

μ = 50σ = 10x = 56

z =

5.الاحتمالمتوسطة

يُرمى حجر نرد منتظم 5 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟

n = 5

P =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 5X − 3. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,15, 0,3, 0,15, 0,25Y = 5X − 3

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. ما النسبة التي تقع بين 164,35 و 181,85 cm؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 178σ = 7x₁ = 164,35x₂ = 181,85

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 97,5% منها (المئين 97,5).

μ = 178σ = 7P = 97,5%

x = cm

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 15 مفردة متوسطها 36 وانحرافها المعياري s = 18. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 15x̄ = 36s = 1899%t(14) = 2,977

الحد الأدنى =

10.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 7 قطعة، متوسط المحصول 37,5 kg، الانحراف المعياري 4 kg. مجموعة القطع 2: 7 قطعة، المتوسط 36 kg، الانحراف المعياري 8 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 37,5s₁ = 4n₂ = 7x̄₂ = 36s₂ = 895%t(12) = 2,179

E = kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 40 جزءًا متوسط طولها 54 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 18 mm. الخط 2: عينة من 50 جزءًا متوسطها 46,7 mm، والانحراف المعياري المعلوم 4 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).

n₁ = 40x̄₁ = 54 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 50x̄₂ = 46,7 mmσ₂ = 4 mm

z =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 16 قياسًا متوسطها 68,8. الانحراف المعياري للمجتمع 10. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 90% للمتوسط.

x̄ = 68,8σ = 10n = 1690%

U =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 153Σy = 812Σx² = 4059Σy² = 114974Σxy = 21591

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 16.

n = 6x = 16

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «المناوبة الليلية، بلا عيب».

مجموع الصف = 97مجموع العمود = 68N = 184

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 1403 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · رفض فرضية صفرية صحيحة في الواقع

لماذا هذه هي الإجابة

يدّعي خطأ النوع الأول وجود تأثير غير موجود، واحتماله يساوي مستوى الدلالة (غالبًا 0,05). أما خطأ النوع الثاني فيُغفل تأثيرًا حقيقيًا.

الإجابة

C · رفض فرضية صفرية صحيحة في الواقع

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · بلوغ التشبع النظري حين لا تضيف البيانات الجديدة فئات جديدة

لماذا هذه هي الإجابة

تطوّر النظرية المجذّرة النظرية استقرائيًا، فتجمع البيانات وترمّزها معًا، وتتوقف عن المعاينة عندما لا تعود البيانات الجديدة تطوّر الفئات.

الإجابة

D · بلوغ التشبع النظري حين لا تضيف البيانات الجديدة فئات جديدة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 15,56

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 181/7 = 25,86

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−4,857)² + 20,14² + (−14,86)² + (−4,857)² + (−10,86)² + 24,14² + (−8,857)² = 1453

الانحراف المعياري

s = √(1453/6) = 15,56

الإجابة

s = 15,56

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 0,6

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (56 − 50)/10 = 0,6

الإجابة

z = 0,6

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,5981

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

الحدث المتمم

P(لا ستة) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

الإجابة

P = 0,5981

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 6,819

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 3,2, Var(X) = 1,86, σ_X = 1,364

التغيير الخطي

σ_Y = |5|·1,364 = 6,819

الإجابة

σ_Y = 6,819

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 5·3,2 − 3 = 13.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6833

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (164,35 − 178)/7 = −1,95

z₂ = (181,85 − 178)/7 = 0,55

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,55) − Φ(−1,95) = 0,7088 − 0,02559 = 0,6833

الإجابة

P = 0,6833

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 191,7 cm

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

العودة إلى x

x = 178 + 1,96·7 = 191,72 cm

الإجابة

x = 191,72 cm

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 22,16

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 14, t = 2,977

هامش الخطأ

E = 2,977·18/√15 = 13,84

الفترة

36 ± 13,84 → [22,16, 49,84]

الإجابة

الحد الأدنى = 22,16

10.فترات الثقة

الإجابة: E = 7,366 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (6·4² + 6·8²)/12 = 40

s_p = 6,325

هامش الخطأ

E = 2,179·6,325·√(1/7 + 1/7) = 7,366

الإجابة

E = 7,366 kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = 2,516

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

الخطأ المعياري للفرق

SE = √(18²/40 + 4²/50) = √8,42 = 2,902

إحصائية الاختبار

z = (54 − 46,7)/2,902 = 2,516

الإجابة

z = 2,516

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 72,91

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,645·10/√16 = 4,112

حد الفترة

U = 68,8 + 4,112 = 72,91

الإجابة

U = 72,91

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9891

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 21591 − 153·812/6 = 885

S_xx = 4059 − 153²/6 = 157,5

S_yy = 114974 − 812²/6 = 5083

معامل الارتباط

r = 885/√(157,5·5083) = 0,9891

الإجابة

r = 0,9891

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 34,95

المتوسطات

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 316/6 = 52,67

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 310

خط الانحدار

b = 310/70 = 4,429

a = 52,67 − 4,429·20 = −35,9

ŷ = −35,9 + 4,429·x

التنبؤ

ŷ = −35,9 + 4,429·16 = 34,95

الإجابة

ŷ = 34,95

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 35,85

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 97·68/184 = 35,85

الإجابة

E = 35,85

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 14,84

التكرارات المتوقَّعة

العمر 18–30: 32, 8

العمر 31–50: 48, 12

العمر 51+: 32, 8

إحصاءة مربع كاي

χ² = (37 − 32)²/32 + (3 − 8)²/8 + (39 − 48)²/48 + (21 − 12)²/12 + (36 − 32)²/32 + (4 − 8)²/8

χ² = 14,84

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

14,84 > 5,991

الإجابة

χ² = 14,84

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology