الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
خصائص الطلب (demand characteristics) هي:
- Aالمطالب الرسمية التي تفرضها لجنة الأخلاقيات قبل بدء الدراسة
- Bإشارات تجعل المشاركين يخمّنون الهدف ويغيّرون سلوكهم
- Cخصائص العيّنة
- Dالمتطلبات الإحصائية للاختبار
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
اختبار لـ«الذكاء» يقيس أساسًا سرعة الكتابة على لوحة المفاتيح. أي نوع من الصدق ينقصه بأوضح صورة؟
- Aثبات الاختبار وإعادة الاختبار
- Bالاتساق الداخلي
- Cالثبات بين المقيّمين
- Dصدق البنية (construct validity)
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 14, 21, 55, 41, 58, 55, 25.
n = 7
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأكبر من 180؟
μ = 170σ = 10x = 180
P =
5.الاحتمالمتوسطة
يُرمى حجر نرد منتظم 6 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟
n = 6
P =
6.الاحتمالصعبة
للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 0,5X − 3. أوجد الانحراف المعياري σY للمتغير Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 0,5X − 3
σY =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,9279. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,9279
z =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 95% منها (المئين 95).
μ = 100σ = 15P = 95%
x = درجة
9.فترات الثقةمتوسطة
فترة ثقة 90% لمتوسط، مبنية على 64 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 1,6. ما هامش الخطأ E₂ إذا استخدمت الدراسة نفسها 128 مشاهدة بدلًا من ذلك؟
90%n₁ = 64E₁ = 1,6n₂ = 128
E₂ =
10.فترات الثقةصعبة
لأقطار 11 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 9,6 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأدنى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 10، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 3,247 و 2,5% فوق 20,483.
n = 11s = 9,6 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 36 طالبًا متوسط درجاتها 121,4 وانحرافها المعياري 4. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 121,4s = 4n = 36
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 500 مقابل H₁: μ > 500 عند α = 0,10 بعينة من 36؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 9. في الواقع المتوسط 502,1. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.
μ₀ = 500μ = 502,1σ = 9n = 36α = 0,10
1 − β = %
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.
n = 6Σx = 42Σy = 125Σx² = 364Σy² = 3263Σxy = 1088
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 21؟
n = 6ŷ = 21
x =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 1402 × 2
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 3 صفوف و 5 أعمدة (دون احتساب المجاميع). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: B · إشارات تجعل المشاركين يخمّنون الهدف ويغيّرون سلوكهم
لماذا هذه هي الإجابة
إذا استنتج المشاركون الفرضية فقد يتصرفون لتأكيدها أو إفسادها، مما يهدد الصدق. ويقلّل الخداع وإجراءات التعمية من ذلك.
الإجابة
B · إشارات تجعل المشاركين يخمّنون الهدف ويغيّرون سلوكهم
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · صدق البنية (construct validity)
لماذا هذه هي الإجابة
صدق البنية هو ما إذا كان القياس يعكس فعلًا البنية الكامنة. وقد يكون الاختبار ثابتًا وهو يقيس الشيء الخطأ.
الإجابة
D · صدق البنية (construct validity)
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 18,35
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 269/7 = 38,43
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−24,43)² + (−17,43)² + 16,57² + 2,571² + 19,57² + 16,57² + (−13,43)² = 2020
الانحراف المعياري
s = √(2020/6) = 18,35
الإجابة
s = 18,35
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,1587
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 1
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
الإجابة
P = 0,1587
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,6651
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
الحدث المتمم
P(لا ستة) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
الإجابة
P = 0,6651
6.الاحتمال
الإجابة: σY = 0,4023
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
تشتت X
μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
التغيير الخطي
σY = |0,5|·0,8047 = 0,4023
الإجابة
σY = 0,4023
المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 0,5·1,05 − 3 = −2,475.
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = −1,46
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = 1 − 0,9279 = 0,0721
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,0721 داخل الجدول واقرأ z.
z = −1,46
الإجابة
z = −1,46
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 124,7 درجة
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
العودة إلى x
x = 100 + 1,645·15 = 124,67 درجة
الإجابة
x = 124,67 درجة
9.فترات الثقة
الإجابة: E₂ = 1,131
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
نسبة الهامشين
E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(64/128) = 0,7071
الهامش الجديد
E₂ = 1,6·0,7071 = 1,131
الإجابة
E₂ = 1,131
10.فترات الثقة
الإجابة: σ = 6,708 µm
فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.
مجموع المربعات
(n − 1)s² = 10·9,6² = 921,6
حدّا σ²
921,6/20,483 = 44,99
921,6/3,247 = 283,8
حدّ σ
σ = √44,99 = 6,708 µm
الإجابة
σ = 6,708 µm
فترة 95% لـ σ: [6,708, 16,85] µm.
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 2,1
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667
إحصائية الاختبار
t = (121,4 − 120)/0,6667 = 2,1
الإجابة
t = 2,1
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: 1 − β = 54,7 %
قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
متوسط العينة الحرج
SE = 9/√36 = 1,5
x̄c = 500 + 1,282·1,5 = 501,9
z وفق المتوسط الحقيقي
z = (501,9 − 502,1)/1,5 = −0,118
القدرة
القوة = P(Z > −0,118) = 54,7%
1 − β = 54,7%
الإجابة
1 − β = 54,7%
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9918
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المجاميع الممركَزة
Sxy = 1088 − 42·125/6 = 213
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 3263 − 125²/6 = 658,8
معامل الارتباط
r = 213/√(70·658,8) = 0,9918
الإجابة
r = 0,9918
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 9,04
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 101/6 = 16,83
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 143
خط الانحدار
b = 143/70 = 2,043
a = 16,83 − 2,043·7 = 2,533
ŷ = 2,533 + 2,043·x
حلّ لإيجاد x
x = (21 − 2,533)/2,043 = 9,04
الإجابة
x = 9,04
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 55,56
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
المدخّنون: 80·98/140 = 56, 80·42/140 = 24
غير المدخّنين: 60·98/140 = 42, 60·42/140 = 18
إحصاءة مربع كاي
χ² = (76 − 56)²/56 + (4 − 24)²/24 + (22 − 42)²/42 + (38 − 18)²/18
χ² = 55,56
الإجابة
χ² = 55,56
df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ²crit = 15,51
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8
الجدول
χ²crit(df = 8, α = 0,05) = 15,507
الإجابة
χ²crit = 15,507
ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology