الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
ما نوع البيانات التي يجمعها سؤال مفتوح في المقابلة؟
- Aبيانات فترية
- Bبيانات كمية اسمية فقط
- Cبيانات نسبية
- Dبيانات نوعية
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
يتلاعب باحث بالمزاج بعرض فيلم حزين، ثم يطلب من المشاركين تقدير مدى حزنهم قبل المهمة الرئيسية. لماذا يُضمَّن هذا التقدير؟
- Aبوصفه فحصًا للتلاعب للتأكد من أن المتغير المستقل عمل كما هو مقصود
- Bلإجراء إيضاح لاحق للمشاركين بشأن الأهداف
- Cبوصفه المتغير التابع الرئيسي للدراسة
- Dلموازنة ترتيب الشروط
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 29, 49, 57, 49, 26, 34, 56.
n = 7
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 12. ما نسبة P القيم الأقل من 68؟
μ = 50σ = 12x = 68
P =
5.الاحتمالمتوسطة
بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 5 أشخاص من مجموعة من 11؟ الترتيب غير مهم.
n = 11k = 5
N =
6.الاحتمالصعبة
تكلفة لعبة €2 للمشاركة. تربح €6 باحتمال 0,25 و€100 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.
مبلغ المشاركة = €2€6: p = 0,25€100: p = 0,05
E(G) = €
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. ما النسبة التي تقع بين 20 و 38 min؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 32σ = 6x1 = 20x2 = 38
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
تتوزع درجات الامتحان توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 5% على يمينه. أوجد حد القطع x.
μ = 65 درجةσ = 10 درجة5%
x = درجة
9.فترات الثقةمتوسطة
يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 60 هاتفًا، المتوسط 144,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 17 h. الطراز 2: 30 هاتفًا، المتوسط 159,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 18 h. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 60x̄₁ = 144,5 hσ₁ = 17 hn₂ = 30x̄₂ = 159,5 hσ₂ = 18 h90%
الحد الأدنى = h
10.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 14. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 1 على الأكثر؟
σ = 14E = 195%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 30 جزءًا متوسط طولها 79 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 18 mm. الخط 2: عينة من 80 جزءًا متوسطها 90,4 mm، والانحراف المعياري المعلوم 12 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).
n₁ = 30x̄₁ = 79 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 80x̄₂ = 90,4 mmσ₂ = 12 mm
z =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 50 مقابل H₁: μ < 50 عند α = 0.05 بعينة من 100؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 25. في الواقع المتوسط 47.5. أوجد احتمال الخطأ من النوع الثاني β بالنسبة المئوية.
μ₀ = 50μ = 47,5σ = 25n = 100α = 0,05
β = %
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 5
r² =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (9, 34). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 6(9, 34)
e =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «المناوبة النهارية، طفيف».
مجموع الصف = 78مجموع العمود = 55N = 132
E =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 10 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · بيانات نوعية
لماذا هذه هي الإجابة
تنتج الأسئلة المفتوحة بيانات نوعية غنية يصعب تحليلها إحصائيًا مقارنة بإجابات الأسئلة المغلقة.
الإجابة
D · بيانات نوعية
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: A · بوصفه فحصًا للتلاعب للتأكد من أن المتغير المستقل عمل كما هو مقصود
لماذا هذه هي الإجابة
يتحقق فحص التلاعب من أن المتغير المستقل أحدث الحالة النفسية المقصودة، ودونه قد تعني النتيجة الصفرية أن التلاعب فشل.
الإجابة
A · بوصفه فحصًا للتلاعب للتأكد من أن المتغير المستقل عمل كما هو مقصود
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 12,93
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 300/7 = 42,86
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−13,86)² + 6,143² + 14,14² + 6,143² + (−16,86)² + (−8,857)² + 13,14² = 1003
الانحراف المعياري
s = √(1003/6) = 12,93
الإجابة
s = 12,93
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,9332
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 1,5
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
الإجابة
P = 0,9332
5.الاحتمال
الإجابة: N = 462
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
التوافيق
C(11, 5) = (11·10·9·8·7)/(5·4·3·2·1) = 462
الإجابة
N = 462
6.الاحتمال
الإجابة: E(G) = 4,5 €
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
النتائج الصافية
G: 4 (p = 0,25), 98 (p = 0,05), −2 (p = 0,7)
القيمة المتوقعة
E(G) = 4·0,25 + 98·0,05 − 2·0,7 = 4,5 €
الإجابة
E(G) = 4,5 €
القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,8186
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (20 − 32)/6 = −2
z₂ = (38 − 32)/6 = 1
المساحة بين القيمتين
P = Φ(1) − Φ(−2) = 0,8413 − 0,02275 = 0,8186
الإجابة
P = 0,8186
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 81,4 درجة
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على اليسار
Φ(z) = 0,95
z من الجدول
z ≈ 1,64
العودة إلى الوحدات الأصلية
x = 65 + 1,64·10 = 81,4 درجة
الإجابة
x = 81,4 درجة
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأدنى = −21,5 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
التقدير النقطي
x̄₁ − x̄₂ = 144,5 − 159,5 = −15
الخطأ المعياري
SE = √(17²/60 + 18²/30) = 3,952
هامش الخطأ
E = 1,645·3,952 = 6,501
الفترة
−15 ± 6,501 → [−21,5, −8,499]
الإجابة
الحد الأدنى = −21,5 h
الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 753
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (1,96·14/1)² = 753
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 753
الإجابة
n = 753
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = −3,212
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
الخطأ المعياري للفرق
SE = √(18²/30 + 12²/80) = √12,6 = 3,55
إحصائية الاختبار
z = (79 − 90,4)/3,55 = −3,212
الإجابة
z = −3,212
|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: β = 74,05 %
قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
متوسط العينة الحرج
SE = 25/√100 = 2,5
x̄c = 50 − 1,645·2,5 = 45,89
z وفق المتوسط الحقيقي
z = (45,89 − 47,5)/2,5 = −0,645
الخطأ من النوع الثاني
القوة = P(Z < −0.645) = 25.95%
β = 100% − 25,95% = 74,05%
الإجابة
β = 74,05%
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,9228
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 346/5 = 69,2
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 294
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1041
معامل التحديد
r² = 294²/(90·1041) = 0,9228
الإجابة
r² = 0,9228
نحو 92,28% من التباين في y يفسّره الخط.
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = 4,033
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 145/6 = 24,17
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 203
خط الانحدار
b = 203/70 = 2,9
a = 24,17 − 2,9·7 = 3,867
ŷ = 3,867 + 2,9·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = 3,867 + 2,9·9 = 29,97
البُواقي
e = 34 − 29,97 = 4,033
الإجابة
e = 4,033
تقع النقطة فوق الخط.
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: E = 32,5
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرار المتوقَّع
E = 78·55/132 = 32,5
الإجابة
E = 32,5
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ²crit = 16,92
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 10 − 1 = 9
الجدول
χ²crit(df = 9, α = 0,05) = 16,919
الإجابة
χ²crit = 16,919
ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology