مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يتحقق خبراء مما إذا كانت بنود امتحان رياضيات تغطي جميع موضوعات المنهج. هذا يقيّم:

Aثبات الاختبار وإعادة الاختبار
Bالصدق التنبؤي
Cصدق المحتوى
Dالصدق البيئي

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يُظهر تحليل تباين عاملي 2 × 3 أن دواءً يحسّن الذاكرة لدى الشباب لكن لا يحسّنها لدى كبار السن. ما الذي وُجد؟

Aتفاعل بين الدواء والعمر
Bأثر رئيسي للعمر فقط
Cأثر الأرضية
Dخطأ من النوع الأول

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 37, 20, 46, 60, 18, 55, 22.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 5. ما نسبة P القيم الأقل من 107,5؟

μ = 100σ = 5x = 107,5

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,3, 0,3, 0,25

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

يُختبر 10 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,4. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 10p = 0,4

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 120 mm وانحراف معياري 0,3 mm؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 80 mm وانحراف معياري 0,4 mm. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 200,3 mm. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,3 mm

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أعمار البطاريات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 30% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 500 hσ = 40 h30%

x = h

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 20 مفردة متوسطها 108 وانحرافها المعياري s = 18,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 20x̄ = 108s = 18,590%t(19) = 1,729

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,7 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للنسبة 0,03 على الأكثر؟

p ≈ 0,7E = 0,0395%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 120؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 40. متوسط عينة عشوائية من 100 مشاهدة هو 126,08. اختبر H₀: μ = 120 مقابل H₁: μ > 120. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 120σ = 40n = 100x̄ = 126,08H₁: μ > μ₀

p =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 105 من 150 مريضًا على العلاج A، و 152 من 200 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 105n₁ = 150x₂ = 152n₂ = 200

z =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 20Σy = 226Σx² = 90Σy² = 10348Σxy = 938

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (6, 84). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(6, 84)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1202 × 2

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2203 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · صدق المحتوى

لماذا هذه هي الإجابة

صدق المحتوى هو مدى تغطية القياس لجميع الجوانب ذات الصلة من البنية، ويحكم عليه الخبراء عادةً.

الإجابة

C · صدق المحتوى

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · تفاعل بين الدواء والعمر

لماذا هذه هي الإجابة

يحدث التفاعل عندما يختلف أثر عامل ما باختلاف مستويات عامل آخر، وهنا يتوقف أثر الدواء على الفئة العمرية.

الإجابة

A · تفاعل بين الدواء والعمر

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 17,36

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 258/7 = 36,86

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 0,1429² + (−16,86)² + 9,143² + 23,14² + (−18,86)² + 18,14² + (−14,86)² = 1809

الانحراف المعياري

s = √(1809/6) = 17,36

الإجابة

s = 17,36

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,9332

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

الإجابة

P = 0,9332

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 102,8

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 10·0,15 + 20·0,3 + 30·0,3 + 40·0,25 = 26,5

متوسط المربعات

E(X²) = 100·0,15 + 400·0,3 + 900·0,3 + 1600·0,25 = 805

التباين

Var(X) = 805 − 26,5² = 102,8

الإجابة

Var(X) = 102,8

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,04636

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,6¹⁰ = 0,006047

P(X = 1) = 10·0,4·0,6⁹ = 0,04031

اجمعها

P = 0,006047 + 0,04031 = 0,04636

الإجابة

P = 0,04636

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,2743

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (200,3 − 200)/0,5 = 0,6

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743

الإجابة

P = 0,2743

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 479 h

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,3

z من الجدول

z ≈ −0,52

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 500 − 0,52·40 = 479 h

الإجابة

x = 479 h

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 115,2

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 19, t = 1,729

هامش الخطأ

E = 1,729·18,5/√20 = 7,152

الفترة

108 ± 7,152 → [100,8, 115,2]

الإجابة

الحد الأعلى = 115,2

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 897

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,96²·0,7·0,3/0,03² = 896,4

قرّب إلى الأعلى

n = 897

الإجابة

n = 897

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,06426

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 40/√100 = 4

z = (126,08 − 120)/4 = 1,52

مساحة الذيل

Φ(1,52) = 0,9357

1 − Φ(1,52) = 0,0643

القيمة الاحتمالية

p = 0,06426

الإجابة

p = 0,06426

p > 0,05، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −1,258

نسبتا العينتين

p̂₁ = 105/150 = 0,7

p̂₂ = 152/200 = 0,76

p̂ = 257/350 = 0,7343

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,7343·0,2657·(1/150 + 1/200)) = 0,04771

إحصائية الاختبار

z = (0,7 − 0,76)/0,04771 = −1,258

الإجابة

z = −1,258

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,933

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 938 − 20·226/5 = 34

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 10348 − 226²/5 = 132,8

معامل الارتباط

r = 34/√(10·132,8) = 0,933

الإجابة

r = 0,933

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 4,05

المتوسطات

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 422/5 = 84,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 178

خط الانحدار

b = 178/40 = 4,45

a = 84,4 − 4,45·7 = 53,25

ŷ = 53,25 + 4,45·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 53,25 + 4,45·6 = 79,95

البُواقي

e = 84 − 79,95 = 4,05

الإجابة

e = 4,05

تقع النقطة فوق الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 7,35

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الدواء الجديد: 80·60/120 = 40, 80·60/120 = 40

الدواء الوهمي: 40·60/120 = 20, 40·60/120 = 20

إحصاءة مربع كاي

χ² = (47 − 40)²/40 + (33 − 40)²/40 + (13 − 20)²/20 + (27 − 20)²/20

χ² = 7,35

الإجابة

χ² = 7,35

df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 5,844

التكرارات المتوقَّعة

العمر 18–30: 48, 32

العمر 31–50: 24, 16

العمر 51+: 60, 40

إحصاءة مربع كاي

χ² = (47 − 48)²/48 + (33 − 32)²/32 + (18 − 24)²/24 + (22 − 16)²/16 + (67 − 60)²/60 + (33 − 40)²/40

χ² = 5,844

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

5,844 < 5,991

الإجابة

χ² = 5,844

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology