مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

في توزيع ملتوٍ التواءً موجبًا، مثل الدخل:

Aيكون المتوسط أصغر من الوسيط
Bيكون المتوسط أكبر من الوسيط
Cيتساوى المتوسط والوسيط دائمًا
Dلا توجد درجات متطرفة

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يجد باحث أن مبيعات المثلجات ووفيات الغرق مرتبطة ارتباطًا موجبًا. أي تفسير هو الأرجح؟

Aلا بد أن الارتباط خطأ حسابي
Bالطقس الحار يزيد مبيعات المثلجات والسباحة معًا
Cالغرق يزيد مبيعات المثلجات
Dالمثلجات تسبب الغرق

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 34, 26, 37, 11, 30, 24, 37.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 20. ما نسبة P القيم الأكبر من 54؟

μ = 70σ = 20x = 54

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,35, 0,15, 0,2

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €2 للمشاركة. تربح €4 باحتمال 0,3 و€100 باحتمال 0,02؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €2€4: p = 0,3€100: p = 0,02

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 120 mm وانحراف معياري 0,3 mm؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 80 mm وانحراف معياري 0,4 mm. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 199,8 mm. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,8 mm

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أوزان الأكياس توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 95% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 250 gσ = 5 g95%

x = g

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 7 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها −4,4 وانحرافها المعياري 7,2. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 90% لمتوسط الفروق.

n = 7d̄ = −4,4s_d = 7,290%t(6) = 1,943

E = mmHg

10.فترات الثقةصعبة

تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,1 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للنسبة 0,05 على الأكثر؟

p ≈ 0,1E = 0,0590%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 11 طالبًا، متوسط الدرجة 98,5، الانحراف المعياري 9. المجموعة 2: 5 طالبًا، متوسط الدرجة 104، الانحراف المعياري 4. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).

n₁ = 11x̄₁ = 98,5s₁ = 9n₂ = 5x̄₂ = 104s₂ = 4

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 25 قياسًا متوسطها 77,6. الانحراف المعياري للمجتمع 10. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 99% للمتوسط.

x̄ = 77,6σ = 10n = 2599%

U =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 95Σy = 296Σx² = 1845Σy² = 17994Σxy = 5756

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (2,5, 34). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(2,5, 34)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الموظفون، السيارة».

مجموع الصف = 71مجموع العمود = 52N = 130

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 8 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 8

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · يكون المتوسط أكبر من الوسيط

لماذا هذه هي الإجابة

ترفع قيم قليلة مرتفعة جدًا في الذيل الأيمن المتوسطَ فوق الوسيط، ولهذا يُذكر الوسيط كثيرًا في البيانات الملتوية.

الإجابة

B · يكون المتوسط أكبر من الوسيط

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · الطقس الحار يزيد مبيعات المثلجات والسباحة معًا

لماذا هذه هي الإجابة

يسبب متغير ثالث، هو درجة الحرارة، كليهما. وهذا يوضح لماذا لا يستطيع الارتباط وحده إثبات السببية.

الإجابة

B · الطقس الحار يزيد مبيعات المثلجات والسباحة معًا

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 9,217

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 199/7 = 28,43

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 5,571² + (−2,429)² + 8,571² + (−17,43)² + 1,571² + (−4,429)² + 8,571² = 509,7

الانحراف المعياري

s = √(509,7/6) = 9,217

الإجابة

s = 9,217

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,7881

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −0,8

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 4,75

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,3 + 2·0,35 + 4·0,15 + 6·0,2 = 2,5

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,35 + 16·0,15 + 36·0,2 = 11

التباين

Var(X) = 11 − 2,5² = 4,75

الإجابة

Var(X) = 4,75

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 1,2 €

النتائج الصافية

G: 2 (p = 0,3), 98 (p = 0,02), −2 (p = 0,68)

القيمة المتوقعة

E(G) = 2·0,3 + 98·0,02 − 2·0,68 = 1,2 €

الإجابة

E(G) = 1,2 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6554

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (199,8 − 200)/0,5 = −0,4

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(−0,4) = 1 − 0,3446 = 0,6554

الإجابة

P = 0,6554

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 258,2 g

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,95

z من الجدول

z ≈ 1,64

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 250 + 1,64·5 = 258,2 g

الإجابة

x = 258,2 g

9.فترات الثقة

الإجابة: E = 5,288 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 6, t = 1,943

هامش الخطأ

E = 1,943·7,2/√7 = 5,288

الإجابة

E = 5,288 mmHg

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 98

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,645²·0,1·0,9/0,05² = 97,42

قرّب إلى الأعلى

n = 98

الإجابة

n = 98

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,291

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

التباين المجمَّع

s_p² = (10·9² + 4·4²)/14 = 62,43

s_p = 7,901

الخطأ المعياري

SE = 7,901·√(1/11 + 1/5) = 4,262

إحصائية الاختبار

t = (98,5 − 104)/4,262 = −1,291

الإجابة

t = −1,291

مع df = 14، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,145؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 82,75

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 2,576·10/√25 = 5,152

حد الفترة

U = 77,6 + 5,152 = 82,75

الإجابة

U = 82,75

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9619

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 5756 − 95·296/5 = 132

S_xx = 1845 − 95²/5 = 40

S_yy = 17994 − 296²/5 = 470,8

معامل الارتباط

r = 132/√(40·470,8) = 0,9619

الإجابة

r = 0,9619

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 2,71

المتوسطات

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 221/6 = 36,83

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48,5

خط الانحدار

b = 48,5/17,5 = 2,771

a = 36,83 − 2,771·4,5 = 24,36

ŷ = 24,36 + 2,771·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 24,36 + 2,771·2,5 = 31,29

البُواقي

e = 34 − 31,29 = 2,71

الإجابة

e = 2,71

تقع النقطة فوق الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 28,4

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 71·52/130 = 28,4

الإجابة

E = 28,4

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 6

درجات الحرية

df = 8 − 1 − 1 = 6

الإجابة

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology