مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

أي تصميم يستخدم مشاركين مختلفين في كل شرط؟

Aتصميم القياسات المتكررة
Bتصميم الأزواج المتطابقة بالأشخاص أنفسهم
Cالتصميم داخل الأفراد
Dتصميم المجموعات المستقلة

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

في انحدار متعدد يتنبأ بدرجات الامتحان من ساعات الدراسة والنوم، R² = 0,36. ماذا يعني ذلك؟

Aساعات الدراسة تسبب 36% من النجاح في الامتحان
Bالمتنبئات معًا تفسر 36% من التباين في درجات الامتحان
Cالارتباط بين المتنبئات يساوي 0,36
Dنجح 36% من الطلاب في الامتحان

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 10, 31, 31, 12, 17, 55, 57.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 8. ما نسبة P القيم الأكبر من 66؟

μ = 70σ = 8x = 66

P =

5.الاحتمالمتوسطة

بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 4 أشخاص من مجموعة من 7؟ الترتيب غير مهم.

n = 7k = 4

N =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 5 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,7، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 3 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 5p = 0,7k = 3

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 120 mm وانحراف معياري 0,3 mm؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 80 mm وانحراف معياري 0,4 mm. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 200,3 mm. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,3 mm

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 80% منها (المئين 80).

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 8 مفردة متوسطها 21 وانحرافها المعياري s = 4. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 99% للمتوسط.

n = 8x̄ = 21s = 499%t(7) = 3,499

E =

10.فترات الثقةصعبة

تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,8 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للنسبة 0,05 على الأكثر؟

p ≈ 0,8E = 0,0590%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 50؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 5. متوسط عينة عشوائية من 100 مشاهدة هو 50,88. اختبر H₀: μ = 50 مقابل H₁: μ ≠ 50. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 50σ = 5n = 100x̄ = 50,88H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 500 مقابل H₁: μ < 500 عند α = 0.10 بعينة من 100؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 15. في الواقع المتوسط 495.35. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 500μ = 495,35σ = 15n = 100α = 0,10

1 − β = %

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (4, 39). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(4, 39)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الطلاب، السيارة».

مجموع الصف = 89مجموع العمود = 80N = 185

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 2 صفوف و 3 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟

2 × 3

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · تصميم المجموعات المستقلة

لماذا هذه هي الإجابة

في تصميم المجموعات المستقلة لكل شرط مشاركون مختلفون، فيُتجنّب أثر الترتيب لكن مع خطر تأثير متغيرات المشاركين.

الإجابة

D · تصميم المجموعات المستقلة

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · المتنبئات معًا تفسر 36% من التباين في درجات الامتحان

لماذا هذه هي الإجابة

تُظهر R² مقدار التباين في النتيجة الذي تفسره جميع المتنبئات معًا، ولا تثبت السببية.

الإجابة

B · المتنبئات معًا تفسر 36% من التباين في درجات الامتحان

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 19,36

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 213/7 = 30,43

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−20,43)² + 0,5714² + 0,5714² + (−18,43)² + (−13,43)² + 24,57² + 26,57² = 2248

الانحراف المعياري

s = √(2248/6) = 19,36

الإجابة

s = 19,36

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,6915

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −0,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

الإجابة

P = 0,6915

5.الاحتمال

الإجابة: N = 35

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

التوافيق

C(7, 4) = (7·6·5·4)/(4·3·2·1) = 35

الإجابة

N = 35

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,3087

صيغة ذي الحدين

P(X = 3) = 10·0,7³·0,3² = 10·0,343·0,09 = 0,3087

الإجابة

P = 0,3087

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,2743

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (200,3 − 200)/0,5 = 0,6

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743

الإجابة

P = 0,2743

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 254,2 g

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

العودة إلى x

x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g

الإجابة

x = 254,21 g

9.فترات الثقة

الإجابة: E = 4,948

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 7, t = 3,499

هامش الخطأ

E = 3,499·4/√8 = 4,948

الإجابة

E = 4,948

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 174

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,645²·0,8·0,2/0,05² = 173,2

قرّب إلى الأعلى

n = 174

الإجابة

n = 174

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,07841

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 5/√100 = 0,5

z = (50,88 − 50)/0,5 = 1,76

مساحة الذيل

Φ(1,76) = 0,9608

1 − Φ(1,76) = 0,0392

القيمة الاحتمالية

p = 2·0,0392 = 0,07841

الإجابة

p = 0,07841

p > 0,05، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 96,55 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 15/√100 = 1,5

x̄_c = 500 − 1,282·1,5 = 498,1

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (498,1 − 495,35)/1,5 = 1,818

القدرة

القوة = P(Z < 1.818) = 96.55%

1 − β = 96,55%

الإجابة

1 − β = 96,55%

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9662

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 243/5 = 48,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 49

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 257,2

معامل الارتباط

r = 49/√(10·257,2) = 0,9662

الإجابة

r = 0,9662

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −3,914

المتوسطات

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 312/6 = 52

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 318

خط الانحدار

b = 318/70 = 4,543

a = 52 − 4,543·6 = 24,74

ŷ = 24,74 + 4,543·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 24,74 + 4,543·4 = 42,91

البُواقي

e = 39 − 42,91 = −3,914

الإجابة

e = −3,914

تقع النقطة تحت الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 38,49

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 89·80/185 = 38,49

الإجابة

E = 38,49

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 2

درجات الحرية

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

الإجابة

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology