مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط
x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط
القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي
68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم
P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
أقل من x
P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين
Φ(z2) − Φ(z1)
المئين
x = μ + z·σ

الطريقة

  1. حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
  2. ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
  3. للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
  4. للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة
x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة
n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

  1. اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
  2. أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
  3. هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
  4. الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%
ارفض H0 إذا |z| > 1,96
فترة الثقة
x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

  1. اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
  2. احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
  3. قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
  4. ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل
b = Sxy/Sxx
المقطع
a = ȳ − b·x̄
الارتباط
r = Sxy/√(SxxSyy)
البُواقي
e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار
χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار
ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

الدراسة التي لا تُجرى إلا على طلاب جامعيين أمريكيين قد تفتقر إلى:

  1. Aصدق المحتوى
  2. Bصدق المجتمع
  3. Cالاتساق الداخلي
  4. Dالثبات بين المقيّمين
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تحليل تباين أحادي يقارن أربع مجموعات جاء دالًا. ماذا يجب أن يفعل الباحث بعد ذلك لمعرفة أي المجموعات تختلف؟

  1. Aإجراء اختبارات بعدية مثل Tukey's HSD
  2. Bاستنتاج أن المجموعات الأربع تختلف كل منها عن الأخرى
  3. Cإجراء اختبار كاي تربيع على المتوسطات
  4. Dالإبلاغ عن النتيجة بوصفها ارتباطًا
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
152025303540455055

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 50, 11, 59, 41, 22.

n = 5
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
z −2−1012

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 8. ما نسبة P القيم الأكبر من 74,8؟

μ = 70σ = 8x = 74,8
P =
5.الاحتمالمتوسطة
xp(x)00,3510,320,35μ = 1

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
Var(X) =
6.الاحتمالصعبة
€p(x)−50,78150,22450,02

تكلفة لعبة €5 للمشاركة. تربح €20 باحتمال 0,2 و€250 باحتمال 0,02؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €5€20: p = 0,2€250: p = 0,02
E(G) = €
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
92,5122,5P = ?

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 92,5 و 122,5 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 100σ = 15x1 = 92,5x2 = 122,5
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
μ = 500x = ?80%

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 80% منها (المئين 80).

μ = 500σ = 40P = 80%
x = h
9.فترات الثقةمتوسطة
n = 12, s = 4L = ?Ux̄ = 43E95%

عينة من 12 مفردة متوسطها 43 وانحرافها المعياري s = 4. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 12x̄ = 43s = 495%t(11) = 2,201
الحد الأدنى =
10.فترات الثقةصعبة
σ = 18, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 290%

الانحراف المعياري للمجتمع 18. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 2 على الأكثر؟

σ = 18E = 290%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
t −2,13102,131

عينة من 16 طالبًا متوسط درجاتها 197,8 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 197,8s = 5n = 16
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
σ = 5, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 199%

ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 99% للمتوسط 1 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 5. أوجد أصغر حجم عينة n.

σ = 5E = 199%
n =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
xy37358379591091112713142xy510100150

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
xy121221317414514xy241520x = 1,5

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (1,5, 24). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 24)
e =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
تحسّنلم يتحسّنالمجموعالدواء الجديد6852120الدواء الوهمي5347100المجموع12199220

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 2202 × 2
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
نعملاالمجموعالعمر 18–30441660العمر 31–50334780العمر 51+552580المجموع13288220dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2203 × 2α = 0,05
χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · صدق المجتمع

لماذا هذه هي الإجابة

صدق المجتمع نوع من الصدق الخارجي، والعينات التي يغلب عليها الشباب والغربيون والمتعلمون قد لا تمثل غيرهم.

الإجابة

B · صدق المجتمع
2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · إجراء اختبارات بعدية مثل Tukey's HSD

لماذا هذه هي الإجابة

يُظهر F الدال أن المتوسطات ليست كلها متساوية، وتحدد الاختبارات البعدية أو المقارنات المخطط لها الأزواج المختلفة مع ضبط معدل الخطأ.

الإجابة

A · إجراء اختبارات بعدية مثل Tukey's HSD
3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 19,81

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 183/5 = 36,6

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 13,4² + (−25,6)² + 22,4² + 4,4² + (−14,6)² = 1569

الانحراف المعياري

s = √(1569/4) = 19,81

الإجابة

s = 19,81
4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,2743

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 0,6

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743

الإجابة

P = 0,2743
5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 0,7

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

التباين

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

الإجابة

Var(X) = 0,7
6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 4 €

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

النتائج الصافية

G: 15 (p = 0,2), 245 (p = 0,02), −5 (p = 0,78)

القيمة المتوقعة

E(G) = 15·0,2 + 245·0,02 − 5·0,78 = 4 €

الإجابة

E(G) = 4 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6247

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (92,5 − 100)/15 = −0,5
z₂ = (122,5 − 100)/15 = 1,5

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,5) − Φ(−0,5) = 0,9332 − 0,3085 = 0,6247

الإجابة

P = 0,6247
8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 533,7 h

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

العودة إلى x

x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h

الإجابة

x = 533,66 h
9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 40,46

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 11, t = 2,201

هامش الخطأ

E = 2,201·4/√12 = 2,541

الفترة

43 ± 2,541 → [40,46, 45,54]

الإجابة

الحد الأدنى = 40,46
10.فترات الثقة

الإجابة: n = 220

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·18/2)² = 219,2

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 220

الإجابة

n = 220
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,76

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

إحصائية الاختبار

t = (197,8 − 200)/1,25 = −1,76

الإجابة

t = −1,76
t0,025; df = 15 = 2,131

|t| < 2.131، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 166

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·5/1)² = 165,9

قرّب إلى الأعلى

n = 166

الإجابة

n = 166
13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9953

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 629/6 = 104,8

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 491
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3477

معامل الارتباط

r = 491/√(70·3477) = 0,9953

الإجابة

r = 0,9953
14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 3,45

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17,4

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21

خط الانحدار

b = −21/10 = −2,1
a = 17,4 − (−2,1)·3 = 23,7
ŷ = 23,7 − 2,1·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 23,7 + (−2,1)·1,5 = 20,55

البُواقي

e = 24 − 20,55 = 3,45

الإجابة

e = 3,45

تقع النقطة فوق الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 0,2963

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الدواء الجديد: 120·121/220 = 66, 120·99/220 = 54
الدواء الوهمي: 100·121/220 = 55, 100·99/220 = 45

إحصاءة مربع كاي

χ² = (68 − 66)²/66 + (52 − 54)²/54 + (53 − 55)²/55 + (47 − 45)²/45
χ² = 0,2963

الإجابة

χ² = 0,2963

df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 18,72

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

العمر 18–30: 36, 24
العمر 31–50: 48, 32
العمر 51+: 48, 32

إحصاءة مربع كاي

χ² = (44 − 36)²/36 + (16 − 24)²/24 + (33 − 48)²/48 + (47 − 32)²/32 + (55 − 48)²/48 + (25 − 32)²/32
χ² = 18,72

القرار

df = 2, χ²crit = 5,991
18,72 > 5,991

الإجابة

χ² = 18,72

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology