مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

تعني قيمة p تساوي 0,03 أنه:

Aستتكرر النتيجة في 97% من الحالات
Bلو كانت الفرضية الصفرية صحيحة لظهرت بيانات بهذا التطرف في نحو 3% من الحالات
Cالتأثير كبير
Dبالنظر إلى البيانات الملاحَظة، فاحتمال صحة الفرضية الصفرية 3% فقط

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يتناول مشارك دواءً أو حبة سكر دون أن يعرف أيهما، بينما يعرف الباحث ذلك. ما هذا التصميم، وأي تحيّز يظل ممكنًا؟

Aتجربة مفتوحة؛ وآثار الدواء الوهمي مضبوطة تمامًا
Bمزدوج التعمية؛ ولا تحيّز ممكنًا
Cأحادي التعمية؛ ولا يزال تحيّز المجرِّب ممكنًا
Dأحادي التعمية؛ وخصائص الطلب مستحيلة

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 29, 45, 51, 56, 11.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 10. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 106.

μ = 100σ = 10x = 106

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,15, 0,05, 0,2, 0,25

σ =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €2 للمشاركة. تربح €6 باحتمال 0,1 و€100 باحتمال 0,02؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €2€6: p = 0,1€100: p = 0,02

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. ما النسبة التي تقع بين 246 و 252,75 g؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 250σ = 5x₁ = 246x₂ = 252,75

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,04 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,015 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 21 مفردة متوسطها 37,5 وانحرافها المعياري s = 9,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 21x̄ = 37,5s = 9,599%t(20) = 2,845

الحد الأدنى =

10.فترات الثقةصعبة

لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للنسبة 0,01 على الأكثر؟

p = 0,5E = 0,0199%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 36 طالبًا متوسط درجاتها 497,4 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 497,4s = 5n = 36

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 49 قياسًا متوسطها 499,3. الانحراف المعياري للمجتمع 5. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 499,3σ = 5n = 4995%

U =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 3,5.

n = 5x = 3,5

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «ريفي، مرتفع».

مجموع الصف = 51مجموع العمود = 58N = 140

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 5 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 5

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · لو كانت الفرضية الصفرية صحيحة لظهرت بيانات بهذا التطرف في نحو 3% من الحالات

لماذا هذه هي الإجابة

قيمة p هي احتمال الحصول على نتائج متطرفة بقدر النتائج الملاحظة أو أكثر لو كانت الفرضية الصفرية صحيحة، ولا تعطي احتمال صحة فرضية ولا حجم التأثير.

الإجابة

B · لو كانت الفرضية الصفرية صحيحة لظهرت بيانات بهذا التطرف في نحو 3% من الحالات

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · أحادي التعمية؛ ولا يزال تحيّز المجرِّب ممكنًا

لماذا هذه هي الإجابة

في التصميم أحادي التعمية لا يعرف المشاركون شرطهم، مما يضبط توقعات الدواء الوهمي. لكن معرفة الباحث قد تظل تؤثر في النتائج، لذا تُفضَّل التصاميم مزدوجة التعمية.

الإجابة

C · أحادي التعمية؛ ولا يزال تحيّز المجرِّب ممكنًا

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 18,38

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 192/5 = 38,4

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−9,4)² + 6,6² + 12,6² + 17,6² + (−27,4)² = 1351

الانحراف المعياري

s = √(1351/4) = 18,38

الإجابة

s = 18,38

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 0,6

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (106 − 100)/10 = 0,6

الإجابة

z = 0,6

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 1,652

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,35 + 1·0,15 + 2·0,05 + 3·0,2 + 4·0,25 = 1,85

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,15 + 4·0,05 + 9·0,2 + 16·0,25 = 6,15

التباين

Var(X) = 6,15 − 1,85² = 2,728

σ = √2,728 = 1,652

الإجابة

σ = 1,652

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 0,6 €

النتائج الصافية

G: 4 (p = 0,1), 98 (p = 0,02), −2 (p = 0,88)

القيمة المتوقعة

E(G) = 4·0,1 + 98·0,02 − 2·0,88 = 0,6 €

الإجابة

E(G) = 0,6 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,497

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (246 − 250)/5 = −0,8

z₂ = (252,75 − 250)/5 = 0,55

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,55) − Φ(−0,8) = 0,7088 − 0,2119 = 0,497

الإجابة

P = 0,497

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9452

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452

الإجابة

P = 0,9452

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 31,6

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 20, t = 2,845

هامش الخطأ

E = 2,845·9,5/√21 = 5,898

الفترة

37,5 ± 5,898 → [31,6, 43,4]

الإجابة

الحد الأدنى = 31,6

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 16590

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,01² = 16589

قرّب إلى الأعلى

n = 16590

الإجابة

n = 16590

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −3,12

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

إحصائية الاختبار

t = (497,4 − 500)/0,8333 = −3,12

الإجابة

t = −3,12

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 500,7

هامش الخطأ

E = 1,96·5/√49 = 1,4

حد الفترة

U = 499,3 + 1,4 = 500,7

الإجابة

U = 500,7

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9842

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 228/6 = 38

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 224

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 740

معامل الارتباط

r = 224/√(70·740) = 0,9842

الإجابة

r = 0,9842

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 64,8

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 313/5 = 62,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 44

خط الانحدار

b = 44/10 = 4,4

a = 62,6 − 4,4·3 = 49,4

ŷ = 49,4 + 4,4·x

التنبؤ

ŷ = 49,4 + 4,4·3,5 = 64,8

الإجابة

ŷ = 64,8

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 21,13

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 51·58/140 = 21,13

الإجابة

E = 21,13

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 4

درجات الحرية

df = 5 − 1 = 4

الإجابة

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology