مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

أي اختبار يقارن بين مجموعتين مستقلتين عندما تكون البيانات رتبية أو غير طبيعية بوضوح؟

Aاختبار مان–ويتني U
Bاختبار كاي تربيع
Cاختبار t للعينات المستقلة
Dاختبار ويلكوكسون للرتب ذات الإشارة

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يجد باحث أن مبيعات المثلجات ووفيات الغرق مرتبطة ارتباطًا موجبًا. أي تفسير هو الأرجح؟

Aالمثلجات تسبب الغرق
Bلا بد أن الارتباط خطأ حسابي
Cالغرق يزيد مبيعات المثلجات
Dالطقس الحار يزيد مبيعات المثلجات والسباحة معًا

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 22, 39, 23, 53, 34, 24, 53.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 12. ما نسبة P القيم الأقل من 77,2؟

μ = 70σ = 12x = 77,2

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,3, 0,35, 0,05

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 10 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,2، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 3 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 10p = 0,2k = 3

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. ما النسبة التي تقع بين 29 و 44 min؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 32σ = 6x₁ = 29x₂ = 44

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,03 mm وانحراف معياري 0,01 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,01 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 6 مفردة متوسطها 38,5 وانحرافها المعياري s = 19,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 6x̄ = 38,5s = 19,599%t(5) = 4,032

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 18 قطعة، متوسط المحصول 28,5 kg، الانحراف المعياري 3 kg. مجموعة القطع 2: 8 قطعة، المتوسط 29 kg، الانحراف المعياري 5,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 18x̄₁ = 28,5s₁ = 3n₂ = 8x̄₂ = 29s₂ = 5,595%t(24) = 2,064

E = kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 100 طالبًا متوسط درجاتها 198,9 وانحرافها المعياري 8. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 198,9s = 8n = 100

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 100 مقابل H₁: μ > 100 عند α = 0,10 بعينة من 64؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 12. في الواقع المتوسط 102,25. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 100μ = 102,25σ = 12n = 64α = 0,10

1 − β = %

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 8.

n = 5x = 8

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الطلاب، الدراجة».

مجموع الصف = 82مجموع العمود = 69N = 175

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2203 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · اختبار مان–ويتني U

لماذا هذه هي الإجابة

يقارن اختبار مان–ويتني U الرتب بين مجموعتين غير مترابطتين، أما اختبار ويلكوكسون للرتب ذات الإشارة فللعينات المترابطة.

الإجابة

A · اختبار مان–ويتني U

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · الطقس الحار يزيد مبيعات المثلجات والسباحة معًا

لماذا هذه هي الإجابة

يسبب متغير ثالث، هو درجة الحرارة، كليهما. وهذا يوضح لماذا لا يستطيع الارتباط وحده إثبات السببية.

الإجابة

D · الطقس الحار يزيد مبيعات المثلجات والسباحة معًا

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,53

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 248/7 = 35,43

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−13,43)² + 3,571² + (−12,43)² + 17,57² + (−1,429)² + (−11,43)² + 17,57² = 1098

الانحراف المعياري

s = √(1098/6) = 13,53

الإجابة

s = 13,53

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,7257

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 0,6

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

الإجابة

P = 0,7257

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 0,8275

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,35 + 4·0,05 = 2,15

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,35 + 16·0,05 = 5,45

التباين

Var(X) = 5,45 − 2,15² = 0,8275

الإجابة

Var(X) = 0,8275

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,2013

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 3) = 120·0,2³·0,8⁷ = 120·0,008·0,2097 = 0,2013

الإجابة

P = 0,2013

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6687

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (29 − 32)/6 = −0,5

z₂ = (44 − 32)/6 = 2

المساحة بين القيمتين

P = Φ(2) − Φ(−0,5) = 0,9772 − 0,3085 = 0,6687

الإجابة

P = 0,6687

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,983

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01414 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,03)/0,01414 = −2,12

الاحتمال

P = 1 − Φ(−2,12) = 0,983

الإجابة

P = 0,983

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 70,6

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 5, t = 4,032

هامش الخطأ

E = 4,032·19,5/√6 = 32,1

الفترة

38,5 ± 32,1 → [6,402, 70,6]

الإجابة

الحد الأعلى = 70,6

10.فترات الثقة

الإجابة: E = 3,419 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (17·3² + 7·5,5²)/24 = 15,2

s_p = 3,898

هامش الخطأ

E = 2,064·3,898·√(1/18 + 1/8) = 3,419

الإجابة

E = 3,419 kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,375

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

إحصائية الاختبار

t = (198,9 − 200)/0,8 = −1,375

الإجابة

t = −1,375

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 58,63 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 12/√64 = 1,5

x̄_c = 100 + 1,282·1,5 = 101,9

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (101,9 − 102,25)/1,5 = −0,218

القدرة

القوة = P(Z > −0,218) = 58,63%

1 − β = 58,63%

الإجابة

1 − β = 58,63%

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9784

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 335/5 = 67

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 77

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 606

معامل التحديد

r² = 77²/(10·606) = 0,9784

الإجابة

r² = 0,9784

نحو 97,84% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 50,65

المتوسطات

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 212/5 = 42,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110

خط الانحدار

b = 110/40 = 2,75

a = 42,4 − 2,75·5 = 28,65

ŷ = 28,65 + 2,75·x

التنبؤ

ŷ = 28,65 + 2,75·8 = 50,65

الإجابة

ŷ = 50,65

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 32,33

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 82·69/175 = 32,33

الإجابة

E = 32,33

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 24,13

التكرارات المتوقَّعة

المصنع A: 45, 15

المصنع B: 60, 20

المصنع C: 60, 20

إحصاءة مربع كاي

χ² = (57 − 45)²/45 + (3 − 15)²/15 + (61 − 60)²/60 + (19 − 20)²/20 + (47 − 60)²/60 + (33 − 20)²/20

χ² = 24,13

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

24,13 > 5,991

الإجابة

χ² = 24,13

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology