الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
يشير تحيّز النشر إلى:
- Aأن المحكّمين يفضّلون أوراق المؤلفين من الجامعات الشهيرة على الجامعات الأقل شهرة
- Bأن الباحثين ينشرون الدراسة نفسها مرتين
- Cأن الدراسات ذات النتائج الدالة أرجح نشرًا من النتائج الصفرية
- Dأن المجلات لا تنشر إلا البحوث النوعية
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
يسجل ملاحِظان الأفعال العدوانية في ملعب، ويبلغ الارتباط بين عدّيهما r = 0,45. ماذا يجب أن يفعل الباحث؟
- Aالتحول إلى فرضية أحادية الطرف
- Bقبول البيانات لأن أي ارتباط موجب يكفي
- Cاستخدام العدّ الأعلى من العدّين فقط
- Dتنقيح فئات السلوك وتدريب الملاحِظين، ثم إعادة فحص الاتفاق
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 49, 20, 45, 23, 17, 57.
n = 6
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 20. ما نسبة P القيم الأكبر من 90؟
μ = 70σ = 20x = 90
P =
5.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,35, 0,35, 0,2
σ =
6.الاحتمالصعبة
يُختبر 12 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,4. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 12p = 0,4
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
كتل المسامير الملولبة مستقلة وطبيعية بمتوسط 40 g وانحراف معياري 1,2 g. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 5 منها 196 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 5> 196 g
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 80% على يساره. أوجد حد القطع x.
μ = 178 cmσ = 7 cm80%
x = cm
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 7 مفردة متوسطها 11 وانحرافها المعياري s = 19,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للمتوسط.
n = 7x̄ = 11s = 19,595%t(6) = 2,447
الحد الأعلى =
10.فترات الثقةصعبة
لأقطار 10 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 1,2 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 9، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 2,7 و 2,5% فوق 19,023.
n = 10s = 1,2 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 40 جزءًا متوسط طولها 108 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 4 mm. الخط 2: عينة من 30 جزءًا متوسطها 100,6 mm، والانحراف المعياري المعلوم 14 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).
n₁ = 40x̄₁ = 108 mmσ₁ = 4 mmn₂ = 30x̄₂ = 100,6 mmσ₂ = 14 mm
z =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
في تجربة سريرية، تعافى 150 من 250 مريضًا على العلاج A، و 120 من 250 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 150n₁ = 250x₂ = 120n₂ = 250
z =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 6
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 22,5.
n = 5x = 22,5
ŷ =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 2002 × 3
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 8 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. كم درجة حرية df للاختبار؟
k = 8
df =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · أن الدراسات ذات النتائج الدالة أرجح نشرًا من النتائج الصفرية
لماذا هذه هي الإجابة
عندما تبقى الدراسات غير الدالة في أدراج الملفات تبالغ الأدبيات المنشورة في تقدير أحجام الأثر، مما يشوّه التحليلات البعدية.
الإجابة
C · أن الدراسات ذات النتائج الدالة أرجح نشرًا من النتائج الصفرية
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · تنقيح فئات السلوك وتدريب الملاحِظين، ثم إعادة فحص الاتفاق
لماذا هذه هي الإجابة
يعني الثبات المنخفض بين الملاحِظين أن الفئات تُطبَّق بعدم اتساق. ويجب أن ترفع التعريفات الإجرائية الأوضح وجلسات التدريب الاتفاقَ قبل جمع البيانات الرئيسي.
الإجابة
D · تنقيح فئات السلوك وتدريب الملاحِظين، ثم إعادة فحص الاتفاق
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 17,16
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 211/6 = 35,17
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 13,83² + (−15,17)² + 9,833² + (−12,17)² + (−18,17)² + 21,83² = 1473
الانحراف المعياري
s = √(1473/5) = 17,16
الإجابة
s = 17,16
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,1587
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 1
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
الإجابة
P = 0,1587
5.الاحتمال
الإجابة: σ = 0,9097
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,1 + 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,2 = 1,65
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,1 + 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,2 = 3,55
التباين
Var(X) = 3,55 − 1,65² = 0,8275
σ = √0,8275 = 0,9097
الإجابة
σ = 0,9097
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,01959
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,612 = 0,002177
P(X = 1) = 12·0,4·0,611 = 0,01741
اجمعها
P = 0,002177 + 0,01741 = 0,01959
الإجابة
P = 0,01959
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,9319
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع المجموع الكلي
μT = 200 g, σT = 1,2·√5 = 2,683 g
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (196 − 200)/2,683 = −1,49
الاحتمال
P = 1 − Φ(−1,49) = 0,9319
الإجابة
P = 0,9319
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 183,9 cm
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على اليسار
Φ(z) = 0,8
z من الجدول
z ≈ 0,84
العودة إلى الوحدات الأصلية
x = 178 + 0,84·7 = 183,9 cm
الإجابة
x = 183,9 cm
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 29,04
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 6, t = 2,447
هامش الخطأ
E = 2,447·19,5/√7 = 18,04
الفترة
11 ± 18,04 → [−7,035, 29,04]
الإجابة
الحد الأعلى = 29,04
10.فترات الثقة
الإجابة: σ = 2,191 µm
فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.
مجموع المربعات
(n − 1)s² = 9·1,2² = 12,96
حدّا σ²
12,96/19,023 = 0,6813
12,96/2,7 = 4,8
حدّ σ
σ = √4,8 = 2,191 µm
الإجابة
σ = 2,191 µm
فترة 95% لـ σ: [0,8254, 2,191] µm.
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = 2,81
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
الخطأ المعياري للفرق
SE = √(4²/40 + 14²/30) = √6,933 = 2,633
إحصائية الاختبار
z = (108 − 100,6)/2,633 = 2,81
الإجابة
z = 2,81
|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = 2,692
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
نسبتا العينتين
p̂₁ = 150/250 = 0,6
p̂₂ = 120/250 = 0,48
p̂ = 270/500 = 0,54
الخطأ المعياري وفق H₀
SE = √(0,54·0,46·(1/250 + 1/250)) = 0,04458
إحصائية الاختبار
z = (0,6 − 0,48)/0,04458 = 2,692
الإجابة
z = 2,692
|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = −0,9464
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 116/6 = 19,33
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37
Syy = Σ(y − ȳ)² = 87,33
معامل الارتباط
r = −37/√(17,5·87,33) = −0,9464
الإجابة
r = −0,9464
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: ŷ = 88,8
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 412/5 = 82,4
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 384
خط الانحدار
b = 384/90 = 4,267
a = 82,4 − 4,267·21 = −7,2
ŷ = −7,2 + 4,267·x
التنبؤ
ŷ = −7,2 + 4,267·22,5 = 88,8
الإجابة
ŷ = 88,8
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 10,84
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
المناوبة النهارية: 80·40/200 = 16, 80·90/200 = 36, 80·70/200 = 28
المناوبة الليلية: 120·40/200 = 24, 120·90/200 = 54, 120·70/200 = 42
إحصاءة مربع كاي
χ² = (14 − 16)²/16 + (47 − 36)²/36 + (19 − 28)²/28 + (26 − 24)²/24 + (43 − 54)²/54 + (51 − 42)²/42
χ² = 10,84
الإجابة
χ² = 10,84
df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: df = 6
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 8 − 1 − 1 = 6
الإجابة
df = 6
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology