مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

اختبار سهل إلى درجة أن معظم المشاركين يحصلون على درجات قريبة من الحد الأقصى. يُسمّى ذلك:

Aأثر السقف
Bأثر الممارسة
Cأثر الأرضية
Dأثر الترتيب

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يجد مقياس للتقرير الذاتي أن الأشخاص الذين يوافقون على عبارات كثيرة يحصلون على درجات مرتفعة أيًّا كان المحتوى. أي تحيّز في الاستجابة هذا، وكيف يمكن تقليله؟

Aتحيّز المرغوبية الاجتماعية؛ باستخدام عينة أكبر
Bخصائص الطلب؛ باستخدام تصميم مزدوج التعمية
Cتحيّز الإذعان (القبول)؛ بتضمين بنود معكوسة الصياغة
Dآثار الترتيب؛ بموازنة المشاركين

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 55, 35, 52, 22, 37, 28.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 60.

μ = 100σ = 20x = 60

z =

5.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 8 كرات حمراء و6 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

8 / 6

P =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 5X − 3. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,1, 0,35, 0,25, 0,2Y = 5X − 3

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. ما النسبة التي تقع بين 32,3 و 33,2 min؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 32σ = 6x₁ = 32,3x₂ = 33,2

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أعمار البطاريات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 90% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 500 hσ = 40 h90%

x = h

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 30 مفردة متوسطها 16,5 وانحرافها المعياري s = 13,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 30x̄ = 16,5s = 13,595%t(29) = 2,045

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للنسبة 0,03 على الأكثر؟

p = 0,5E = 0,0399%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 98,56 وانحرافها المعياري 8. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,56s = 8n = 25

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 100 قياسًا متوسطها 46,8. الانحراف المعياري للمجتمع 12. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 99% للمتوسط.

x̄ = 46,8σ = 12n = 10099%

U =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (16,5, 68). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(16,5, 68)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الطلاب، الدراجة».

مجموع الصف = 77مجموع العمود = 61N = 154

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2003 × 2α = 0,01

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · أثر السقف

لماذا هذه هي الإجابة

تخفي آثار السقف الفروق بين الشروط لأن أحدًا لا يستطيع الحصول على درجة أعلى. أما آثار الأرضية فهي العكس، عندما تكون المهمة صعبة جدًا.

الإجابة

A · أثر السقف

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · تحيّز الإذعان (القبول)؛ بتضمين بنود معكوسة الصياغة

لماذا هذه هي الإجابة

الإذعان ميل إلى الموافقة على البنود، والمزج بين بنود مصاغة إيجابيًا وسلبيًا يعني أن الموافقة على كل شيء لا تعود تنتج درجة متطرفة.

الإجابة

C · تحيّز الإذعان (القبول)؛ بتضمين بنود معكوسة الصياغة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,04

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 229/6 = 38,17

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 16,83² + (−3,167)² + 13,83² + (−16,17)² + (−1,167)² + (−10,17)² = 850,8

الانحراف المعياري

s = √(850,8/5) = 13,04

الإجابة

s = 13,04

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −2

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (60 − 100)/20 = −2

الإجابة

z = −2

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,3077

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 8/14 · 7/13 = 56/182 = 0,3077

الإجابة

P = 0,3077

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 5,974

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 3,35, Var(X) = 1,428, σ_X = 1,195

التغيير الخطي

σ_Y = |5|·1,195 = 5,974

الإجابة

σ_Y = 5,974

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 5·3,35 − 3 = 13,75.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,05932

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (32,3 − 32)/6 = 0,05

z₂ = (33,2 − 32)/6 = 0,2

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,2) − Φ(0,05) = 0,5793 − 0,5199 = 0,05932

الإجابة

P = 0,05932

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 551 h

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,9

z من الجدول

z ≈ 1,28

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 500 + 1,28·40 = 551 h

الإجابة

x = 551 h

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 21,54

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 29, t = 2,045

هامش الخطأ

E = 2,045·13,5/√30 = 5,04

الفترة

16,5 ± 5,04 → [11,46, 21,54]

الإجابة

الحد الأعلى = 21,54

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 1844

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,03² = 1843

قرّب إلى الأعلى

n = 1844

الإجابة

n = 1844

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −0,9

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6

إحصائية الاختبار

t = (98,56 − 100)/1,6 = −0,9

الإجابة

t = −0,9

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 49,89

هامش الخطأ

E = 2,576·12/√100 = 3,091

حد الفترة

U = 46,8 + 3,091 = 49,89

الإجابة

U = 49,89

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,3114

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 224/5 = 44,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 17

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 92,8

معامل التحديد

r² = 17²/(10·92,8) = 0,3114

الإجابة

r² = 0,3114

نحو 31,14% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 5,25

المتوسطات

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 388/5 = 77,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 297

خط الانحدار

b = 297/90 = 3,3

a = 77,6 − 3,3·21 = 8,3

ŷ = 8,3 + 3,3·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 8,3 + 3,3·16,5 = 62,75

البُواقي

e = 68 − 62,75 = 5,25

الإجابة

e = 5,25

تقع النقطة فوق الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 30,5

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 77·61/154 = 30,5

الإجابة

E = 30,5

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 3,937

التكرارات المتوقَّعة

العمر 18–30: 18, 42

العمر 31–50: 12, 28

العمر 51+: 30, 70

إحصاءة مربع كاي

χ² = (23 − 18)²/18 + (37 − 42)²/42 + (8 − 12)²/12 + (32 − 28)²/28 + (29 − 30)²/30 + (71 − 70)²/70

χ² = 3,937

القرار

df = 2, χ²_crit = 9,210

3,937 < 9,210

الإجابة

χ² = 3,937

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology