مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

في التوزيع الطبيعي، ما النسبة التقريبية للدرجات الواقعة ضمن انحراف معياري واحد عن المتوسط؟

A95%
B68%
C50%
D99,7%

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تجد دراسة على 10 مشاركين أثرًا كبيرًا لكنه غير دال. ما الاستنتاج الأنسب؟

Aربما افتقرت الدراسة إلى القوة الإحصائية، فالنتيجة غير حاسمة
Bالدراسة تثبت أن الفرضية الصفرية صحيحة، لأن الأثر لم يكن دالًا
Cلا بد أن حجم الأثر حُسب خطأً
Dلا بد أن الأثر خطأ من النوع الأول

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 26, 37, 26, 30, 41, 44, 29.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 20.

μ = 60σ = 20x = 20

z =

5.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 5 كرات حمراء و4 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

5 / 4

P =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €2 للمشاركة. تربح €10 باحتمال 0,2 و€20 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €2€10: p = 0,2€20: p = 0,05

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. ما النسبة التي تقع بين 167,5 و 192 cm؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 178σ = 7x₁ = 167,5x₂ = 192

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 60% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 178 cmσ = 7 cm60%

x = cm

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 21 مفردة متوسطها 108 وانحرافها المعياري s = 19,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 21x̄ = 108s = 19,595%t(20) = 2,086

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,2 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للنسبة 0,04 على الأكثر؟

p ≈ 0,2E = 0,0490%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 250؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 32. متوسط عينة عشوائية من 64 مشاهدة هو 245,12. اختبر H₀: μ = 250 مقابل H₁: μ ≠ 250. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 250σ = 32n = 64x̄ = 245,12H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 90% للمتوسط 3 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 8. أوجد أصغر حجم عينة n.

σ = 8E = 390%

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 3,5.

n = 5x = 3,5

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1802 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 2 صفوف و 3 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟

2 × 3

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · 68%

لماذا هذه هي الإجابة

تقع نحو 68% من الدرجات ضمن ±1 SD، ونحو 95% ضمن ±2 SD، ونحو 99,7% ضمن ±3 SD.

الإجابة

B · 68%

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · ربما افتقرت الدراسة إلى القوة الإحصائية، فالنتيجة غير حاسمة

لماذا هذه هي الإجابة

مع العينات الصغيرة كثيرًا ما تفشل حتى الآثار الحقيقية في بلوغ الدلالة (خطأ من النوع الثاني). وينبغي للباحثين الإبلاغ عن حجم الأثر وفترة الثقة وإعادة الدراسة بعينة أكبر.

الإجابة

A · ربما افتقرت الدراسة إلى القوة الإحصائية، فالنتيجة غير حاسمة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 7,342

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 233/7 = 33,29

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−7,286)² + 3,714² + (−7,286)² + (−3,286)² + 7,714² + 10,71² + (−4,286)² = 323,4

الانحراف المعياري

s = √(323,4/6) = 7,342

الإجابة

s = 7,342

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −2

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (20 − 60)/20 = −2

الإجابة

z = −2

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,2778

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 5/9 · 4/8 = 20/72 = 0,2778

الإجابة

P = 0,2778

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 1 €

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

النتائج الصافية

G: 8 (p = 0,2), 18 (p = 0,05), −2 (p = 0,75)

القيمة المتوقعة

E(G) = 8·0,2 + 18·0,05 − 2·0,75 = 1 €

الإجابة

E(G) = 1 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9104

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (167,5 − 178)/7 = −1,5

z₂ = (192 − 178)/7 = 2

المساحة بين القيمتين

P = Φ(2) − Φ(−1,5) = 0,9772 − 0,06681 = 0,9104

الإجابة

P = 0,9104

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 179,8 cm

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,6

z من الجدول

z ≈ 0,25

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm

الإجابة

x = 179,8 cm

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 116,9

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 20, t = 2,086

هامش الخطأ

E = 2,086·19,5/√21 = 8,876

الفترة

108 ± 8,876 → [99,12, 116,9]

الإجابة

الحد الأعلى = 116,9

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 271

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,645²·0,2·0,8/0,04² = 270,6

قرّب إلى الأعلى

n = 271

الإجابة

n = 271

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,2225

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 32/√64 = 4

z = (245,12 − 250)/4 = −1,22

مساحة الذيل

Φ(1,22) = 0,8888

1 − Φ(1,22) = 0,1112

القيمة الاحتمالية

p = 2·0,1112 = 0,2225

الإجابة

p = 0,2225

p > 0,05، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 20

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·8/3)² = 19,24

قرّب إلى الأعلى

n = 20

الإجابة

n = 20

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,7282

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 304/6 = 50,67

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 47

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 173,3

معامل التحديد

r² = 47²/(17,5·173,3) = 0,7282

الإجابة

r² = 0,7282

نحو 72,82% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 68,15

المتوسطات

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 349/5 = 69,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 33

خط الانحدار

b = 33/10 = 3,3

a = 69,8 − 3,3·4 = 56,6

ŷ = 56,6 + 3,3·x

التنبؤ

ŷ = 56,6 + 3,3·3,5 = 68,15

الإجابة

ŷ = 68,15

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 8,127

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المناوبة النهارية: 60·36/180 = 12, 60·81/180 = 27, 60·63/180 = 21

المناوبة الليلية: 120·36/180 = 24, 120·81/180 = 54, 120·63/180 = 42

إحصاءة مربع كاي

χ² = (12 − 12)²/12 + (19 − 27)²/27 + (29 − 21)²/21 + (24 − 24)²/24 + (62 − 54)²/54 + (34 − 42)²/42

χ² = 8,127

الإجابة

χ² = 8,127

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 2

درجات الحرية

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

الإجابة

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology