مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

في التوزيع الطبيعي التام:

Aتقع معظم الدرجات في الذيلين
Bيكون المنوال أدنى درجة
Cيتساوى المتوسط والوسيط والمنوال
Dيكون المتوسط دائمًا أكبر من الوسيط

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

ما الهدف الرئيسي من التوزيع العشوائي على الشروط في التجربة؟

Aجعل العيّنة ممثِّلة للمجتمع المستهدف لتُعمَّم النتائج
Bضمان ألا يعرف المشاركون الهدف
Cتوزيع متغيرات المشاركين بالتساوي كي لا تُربك النتائج
Dزيادة معدل الاستجابة

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 15, 29, 53, 53, 27.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 60. ما نسبة P القيم الأقل من 440؟

μ = 500σ = 60x = 440

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,3, 0,35, 0,25, 0,05

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €2 للمشاركة. تربح €8 باحتمال 0,3 و€100 باحتمال 0,01؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €2€8: p = 0,3€100: p = 0,01

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. ما النسبة التي تقع بين 60 و 85,5 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 65σ = 10x₁ = 60x₂ = 85,5

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات معدل الذكاء (IQ) توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 25% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 100 درجةσ = 15 درجة25%

x = درجة

9.فترات الثقةمتوسطة

فترة ثقة 99% لمتوسط، مبنية على 25 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 5,2. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 95% من البيانات نفسها؟

99%n₁ = 25E₁ = 5,295%

E₂ =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 16. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 2 على الأكثر؟

σ = 16E = 295%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 50؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 12. متوسط عينة عشوائية من 144 مشاهدة هو 52,02. اختبر H₀: μ = 50 مقابل H₁: μ > 50. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 50σ = 12n = 144x̄ = 52,02H₁: μ > μ₀

p =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 100 قياسًا متوسطها 503,2. الانحراف المعياري للمجتمع 12. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 503,2σ = 12n = 10095%

U =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (18,5, 62). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(18,5, 62)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1202 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 9 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²_crit عند مستوى الدلالة α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · يتساوى المتوسط والوسيط والمنوال

لماذا هذه هي الإجابة

التوزيع الطبيعي متناظر وجرسي الشكل، فتقع مقاييس النزعة المركزية الثلاثة جميعها في المركز.

الإجابة

C · يتساوى المتوسط والوسيط والمنوال

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · توزيع متغيرات المشاركين بالتساوي كي لا تُربك النتائج

لماذا هذه هي الإجابة

يوازن التوزيع العشوائي الفروق الفردية بين الشروط ويدعم الاستنتاجات السببية، أما المعاينة العشوائية فتتعلق بالتعميم على المجتمع.

الإجابة

C · توزيع متغيرات المشاركين بالتساوي كي لا تُربك النتائج

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,94

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 177/5 = 35,4

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−20,4)² + (−6,4)² + 17,6² + 17,6² + (−8,4)² = 1147

الانحراف المعياري

s = √(1147/4) = 16,94

الإجابة

s = 16,94

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,1587

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

الإجابة

P = 0,1587

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 0,9475

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,05 + 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,05 = 1,95

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,05 = 4,75

التباين

Var(X) = 4,75 − 1,95² = 0,9475

الإجابة

Var(X) = 0,9475

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 1,4 €

النتائج الصافية

G: 6 (p = 0,3), 98 (p = 0,01), −2 (p = 0,69)

القيمة المتوقعة

E(G) = 6·0,3 + 98·0,01 − 2·0,69 = 1,4 €

الإجابة

E(G) = 1,4 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6713

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (60 − 65)/10 = −0,5

z₂ = (85,5 − 65)/10 = 2,05

المساحة بين القيمتين

P = Φ(2,05) − Φ(−0,5) = 0,9798 − 0,3085 = 0,6713

الإجابة

P = 0,6713

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 110,1 درجة

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,75

z من الجدول

z ≈ 0,67

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 100 + 0,67·15 = 110,1 درجة

الإجابة

x = 110,1 درجة

9.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 3,957

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(25/25) = 0,7609

الهامش الجديد

E₂ = 5,2·0,7609 = 3,957

الإجابة

E₂ = 3,957

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 246

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·16/2)² = 245,9

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 246

الإجابة

n = 246

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,02169

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 12/√144 = 1

z = (52,02 − 50)/1 = 2,02

مساحة الذيل

Φ(2,02) = 0,9783

1 − Φ(2,02) = 0,0217

القيمة الاحتمالية

p = 0,02169

الإجابة

p = 0,02169

p ≤ 0,05، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 505,6

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,96·12/√100 = 2,352

حد الفترة

U = 503,2 + 2,352 = 505,6

الإجابة

U = 505,6

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9892

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 458/5 = 91,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 244

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1521

معامل الارتباط

r = 244/√(40·1521) = 0,9892

الإجابة

r = 0,9892

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 5,105

المتوسطات

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 400/6 = 66,67

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 513

خط الانحدار

b = 513/157,5 = 3,257

a = 66,67 − 3,257·21,5 = −3,362

ŷ = −3,362 + 3,257·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = −3,362 + 3,257·18,5 = 56,9

البُواقي

e = 62 − 56,9 = 5,105

الإجابة

e = 5,105

تقع النقطة فوق الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 2,5

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الطلاب: 80·18/120 = 12, 80·48/120 = 32, 80·54/120 = 36

الموظفون: 40·18/120 = 6, 40·48/120 = 16, 40·54/120 = 18

إحصاءة مربع كاي

χ² = (13 − 12)²/12 + (28 − 32)²/32 + (39 − 36)²/36 + (5 − 6)²/6 + (20 − 16)²/16 + (15 − 18)²/18

χ² = 2,5

الإجابة

χ² = 2,5

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²_crit = 18,48

درجات الحرية

df = 9 − 1 − 1 = 7

الجدول

χ²_crit(df = 7, α = 0,01) = 18,475

الإجابة

χ²_crit = 18,475

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology