مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يُقلَّل تحيّز المجرِّب بأكثر الطرق مباشرة عن طريق:

Aاستخدام فرضية أحادية الطرف
Bالاستعانة بباحث لا يعرف الفرضية أو الشروط لجمع البيانات
Cالاقتصار على المتطوعين
Dاستخدام عينة أكبر

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تُذكر مقاييس حجم التأثير مثل d لكوهين لأنها:

Aتخبر بعدد المنسحبين
Bتُظهر حجم التأثير بغض النظر عن حجم العيّنة
Cتُلغي الحاجة إلى أي فرضية
Dتُظهر ما إذا كانت النتيجة دالة إحصائيًا عند مستوى ألفا المختار

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 23, 12, 24, 46, 56.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 12. ما نسبة P القيم الأكبر من 77,2؟

μ = 70σ = 12x = 77,2

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,15, 0,25, 0,25, 0,15

σ =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 10 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,4، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 4 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 10p = 0,4k = 4

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,9749. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,9749

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات الامتحان توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 15% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 65 درجةσ = 10 درجة15%

x = درجة

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 6 مفردة متوسطها 104,5 وانحرافها المعياري s = 15,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 6x̄ = 104,5s = 15,595%t(5) = 2,571

الحد الأدنى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 32. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 5 على الأكثر؟

σ = 32E = 595%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 118,5 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118,5s = 15n = 81

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,01 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 1 وحدة بقوة 95%. الانحراف المعياري 6. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,01القوة = 95%δ = 1σ = 6z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 48؟

n = 5ŷ = 48

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1602 × 2

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 3 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 3

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · الاستعانة بباحث لا يعرف الفرضية أو الشروط لجمع البيانات

لماذا هذه هي الإجابة

قد يؤثر المجرّبون الذين يعرفون الفرضية دون قصد في المشاركين أو في التسجيلات، وتقلل الإجراءات أحادية التعمية أو مزدوجة التعمية والتعليمات المعيارية ذلك.

الإجابة

B · الاستعانة بباحث لا يعرف الفرضية أو الشروط لجمع البيانات

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · تُظهر حجم التأثير بغض النظر عن حجم العيّنة

لماذا هذه هي الإجابة

مع العيّنات الكبيرة قد تكون تأثيرات ضئيلة جدًا دالة. وتعبّر أحجام التأثير عن مقدار الفرق، مثل d = 0,2 صغير و0,5 متوسط و0,8 كبير.

الإجابة

B · تُظهر حجم التأثير بغض النظر عن حجم العيّنة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 18,14

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 161/5 = 32,2

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−9,2)² + (−20,2)² + (−8,2)² + 13,8² + 23,8² = 1317

الانحراف المعياري

s = √(1317/4) = 18,14

الإجابة

s = 18,14

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,2743

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 0,6

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

الإجابة

P = 0,2743

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 1,342

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,2 + 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,25 + 4·0,15 = 2

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,25 + 16·0,15 = 5,8

التباين

Var(X) = 5,8 − 2² = 1,8

σ = √1,8 = 1,342

الإجابة

σ = 1,342

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,2508

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 4) = 210·0,4⁴·0,6⁶ = 210·0,0256·0,04666 = 0,2508

الإجابة

P = 0,2508

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 2,24

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,9749)/2 = 0,9875

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9875 داخل الجدول واقرأ z.

z = 2,24

الإجابة

z = 2,24

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 75,4 درجة

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,85

z من الجدول

z ≈ 1,04

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 65 + 1,04·10 = 75,4 درجة

الإجابة

x = 75,4 درجة

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 88,23

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 5, t = 2,571

هامش الخطأ

E = 2,571·15,5/√6 = 16,27

الفترة

104,5 ± 16,27 → [88,23, 120,8]

الإجابة

الحد الأدنى = 88,23

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 158

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·32/5)² = 157,4

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 158

الإجابة

n = 158

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −0,9

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

إحصائية الاختبار

t = (118,5 − 120)/1,667 = −0,9

الإجابة

t = −0,9

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 568

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((2,326 + 1,645)·6/1)² = 567,7

قرّب إلى الأعلى

n = 568

الإجابة

n = 568

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9703

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 491/5 = 98,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 290

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2167

معامل التحديد

r² = 290²/(40·2167) = 0,9703

الإجابة

r² = 0,9703

نحو 97,03% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 3,973

المتوسطات

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 296/5 = 59,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 148

خط الانحدار

b = 148/40 = 3,7

a = 59,2 − 3,7·7 = 33,3

ŷ = 33,3 + 3,7·x

حلّ لإيجاد x

x = (48 − 33,3)/3,7 = 3,973

الإجابة

x = 3,973

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 8,889

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الدواء الجديد: 120·64/160 = 48, 120·96/160 = 72

الدواء الوهمي: 40·64/160 = 16, 40·96/160 = 24

إحصاءة مربع كاي

χ² = (40 − 48)²/48 + (80 − 72)²/72 + (24 − 16)²/16 + (16 − 24)²/24

χ² = 8,889

الإجابة

χ² = 8,889

df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 2

درجات الحرية

df = 3 − 1 = 2

الإجابة

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology