الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
يتضمن ثبات التجزئة النصفية:
- Aمقارنة الدرجات على نصفي الاختبار نفسه للتحقق من الاتساق الداخلي
- Bاختبار نصفي العينة في أوقات مختلفة
- Cتقسيم العينة إلى مجموعة تجريبية ومجموعة ضابطة ومقارنة درجاتهما
- Dاستخدام ملاحظَين لنصف الجلسات لكل منهما
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
اختبار لـ«الذكاء» يقيس أساسًا سرعة الكتابة على لوحة المفاتيح. أي نوع من الصدق ينقصه بأوضح صورة؟
- Aصدق البنية (construct validity)
- Bثبات الاختبار وإعادة الاختبار
- Cالاتساق الداخلي
- Dالثبات بين المقيّمين
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 12, 20, 27, 15, 49.
n = 5
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 8. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 112.
μ = 100σ = 8x = 112
z =
5.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,2, 0,1, 0,2
σ =
6.الاحتمالصعبة
يُختبر 8 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,5. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 8p = 0,5
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,8501. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,8501
z =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 95% منها (المئين 95).
μ = 178σ = 7P = 95%
x = cm
9.فترات الثقةمتوسطة
يُقاس ضغط الدم لـ 13 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها −1,6 وانحرافها المعياري 1,5. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 95% لمتوسط الفروق.
n = 13d̄ = −1,6sd = 1,595%t(12) = 2,179
E = mmHg
10.فترات الثقةصعبة
لأقطار 20 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 5,7 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأدنى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 19، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 8,907 و 2,5% فوق 32,852.
n = 20s = 5,7 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
يُزعم أن متوسط مجتمع ما 80؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 40. متوسط عينة عشوائية من 100 مشاهدة هو 90. اختبر H₀: μ = 80 مقابل H₁: μ > 80. أوجد القيمة الاحتمالية p.
μ₀ = 80σ = 40n = 100x̄ = 90H₁: μ > μ₀
p =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 90% للمتوسط 3 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 4. أوجد أصغر حجم عينة n.
σ = 4E = 390%
n =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 6
r² =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (3,5, 59). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 59)
e =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 1802 × 3
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 2 صفوف و 3 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟
2 × 3
df =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: A · مقارنة الدرجات على نصفي الاختبار نفسه للتحقق من الاتساق الداخلي
لماذا هذه هي الإجابة
إذا كان النصفان يقيسان البنية نفسها فيجب أن ترتبط الدرجات عليهما ارتباطًا مرتفعًا. ويوسّع معامل ألفا كرونباخ هذه الفكرة إلى جميع التجزئات الممكنة.
الإجابة
A · مقارنة الدرجات على نصفي الاختبار نفسه للتحقق من الاتساق الداخلي
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: A · صدق البنية (construct validity)
لماذا هذه هي الإجابة
صدق البنية هو ما إذا كان القياس يعكس فعلًا البنية الكامنة. وقد يكون الاختبار ثابتًا وهو يقيس الشيء الخطأ.
الإجابة
A · صدق البنية (construct validity)
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 14,77
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 123/5 = 24,6
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−12,6)² + (−4,6)² + 2,4² + (−9,6)² + 24,4² = 873,2
الانحراف المعياري
s = √(873,2/4) = 14,77
الإجابة
s = 14,77
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = 1,5
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (112 − 100)/8 = 1,5
الإجابة
z = 1,5
5.الاحتمال
الإجابة: σ = 1,487
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,3 + 1·0,2 + 2·0,2 + 3·0,1 + 4·0,2 = 1,7
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,2 + 4·0,2 + 9·0,1 + 16·0,2 = 5,1
التباين
Var(X) = 5,1 − 1,7² = 2,21
σ = √2,21 = 1,487
الإجابة
σ = 1,487
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,03516
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,58 = 0,003906
P(X = 1) = 8·0,5·0,57 = 0,03125
اجمعها
P = 0,003906 + 0,03125 = 0,03516
الإجابة
P = 0,03516
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = 1,44
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = (1 + 0,8501)/2 = 0,9251
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,9251 داخل الجدول واقرأ z.
z = 1,44
الإجابة
z = 1,44
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 189,5 cm
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
العودة إلى x
x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm
الإجابة
x = 189,51 cm
9.فترات الثقة
الإجابة: E = 0,9065 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
القيمة الحرجة
df = 12, t = 2,179
هامش الخطأ
E = 2,179·1,5/√13 = 0,9065
الإجابة
E = 0,9065 mmHg
10.فترات الثقة
الإجابة: σ = 4,335 µm
فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.
مجموع المربعات
(n − 1)s² = 19·5,7² = 617,3
حدّا σ²
617,3/32,852 = 18,79
617,3/8,907 = 69,31
حدّ σ
σ = √18,79 = 4,335 µm
الإجابة
σ = 4,335 µm
فترة 95% لـ σ: [4,335, 8,325] µm.
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: p = 0,00621
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
إحصائية الاختبار
SE = σ/√n = 40/√100 = 4
z = (90 − 80)/4 = 2,5
مساحة الذيل
Φ(2,5) = 0,9938
1 − Φ(2,5) = 0,0062
القيمة الاحتمالية
p = 0,00621
الإجابة
p = 0,00621
p ≤ 0,05، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: n = 5
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
حُلّ لإيجاد n
n = (1,645·4/3)² = 4,811
قرّب إلى الأعلى
n = 5
الإجابة
n = 5
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,9619
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 344/6 = 57,33
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64
Syy = Σ(y − ȳ)² = 243,3
معامل التحديد
r² = 64²/(17,5·243,3) = 0,9619
الإجابة
r² = 0,9619
نحو 96,19% من التباين في y يفسّره الخط.
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = 3,75
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 325/5 = 65
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65
خط الانحدار
b = 65/10 = 6,5
a = 65 − 6,5·5 = 32,5
ŷ = 32,5 + 6,5·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = 32,5 + 6,5·3,5 = 55,25
البُواقي
e = 59 − 55,25 = 3,75
الإجابة
e = 3,75
تقع النقطة فوق الخط.
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 8,37
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
المناوبة النهارية: 100·36/180 = 20, 100·54/180 = 30, 100·90/180 = 50
المناوبة الليلية: 80·36/180 = 16, 80·54/180 = 24, 80·90/180 = 40
إحصاءة مربع كاي
χ² = (14 − 20)²/20 + (27 − 30)²/30 + (59 − 50)²/50 + (22 − 16)²/16 + (27 − 24)²/24 + (31 − 40)²/40
χ² = 8,37
الإجابة
χ² = 8,37
df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: df = 2
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2
الإجابة
df = 2
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology