مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يتضمن ثبات التجزئة النصفية:

Aاستخدام ملاحظَين لنصف الجلسات لكل منهما
Bتقسيم العينة إلى مجموعة تجريبية ومجموعة ضابطة ومقارنة درجاتهما
Cاختبار نصفي العينة في أوقات مختلفة
Dمقارنة الدرجات على نصفي الاختبار نفسه للتحقق من الاتساق الداخلي

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تستخدم دراسة للذاكرة تصميم القياسات المتكررة يتعلم فيه الجميع القائمة A ثم القائمة B، ويكون الاستدعاء أفضل للقائمة B. ما العيب الأرجح؟

Aاستخدام مستوى قياس رتبي
Bآثار الترتيب مثل الممارسة، لأن الشروط لم تُوازَن
Cحجم عينة كبير جدًا
Dالفروق الفردية بين المجموعات

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 30, 49, 49, 15, 12, 37, 49.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 50. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 562,5.

μ = 500σ = 50x = 562,5

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,35, 0,2, 0,15

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 9 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,25، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 4 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 9p = 0,25k = 4

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,8132. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,8132

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 95% منها (المئين 95).

μ = 100σ = 15P = 95%

x = درجة

9.فترات الثقةمتوسطة

فترة ثقة 95% لمتوسط، مبنية على 36 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 6,7. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 90% من البيانات نفسها؟

95%n₁ = 36E₁ = 6,790%

E₂ =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 34. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 3 على الأكثر؟

σ = 34E = 390%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 5 طالبًا، متوسط الدرجة 24,5، الانحراف المعياري 2. المجموعة 2: 17 طالبًا، متوسط الدرجة 14,1، الانحراف المعياري 9,5. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).

n₁ = 5x̄₁ = 24,5s₁ = 2n₂ = 17x̄₂ = 14,1s₂ = 9,5

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 165 من 300 مريضًا على العلاج A، و 61 من 120 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 165n₁ = 300x₂ = 61n₂ = 120

z =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (20,5, 97). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(20,5, 97)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 2202 × 2

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 3 صفوف و 5 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟

3 × 5

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · مقارنة الدرجات على نصفي الاختبار نفسه للتحقق من الاتساق الداخلي

لماذا هذه هي الإجابة

إذا كان النصفان يقيسان البنية نفسها فيجب أن ترتبط الدرجات عليهما ارتباطًا مرتفعًا. ويوسّع معامل ألفا كرونباخ هذه الفكرة إلى جميع التجزئات الممكنة.

الإجابة

D · مقارنة الدرجات على نصفي الاختبار نفسه للتحقق من الاتساق الداخلي

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · آثار الترتيب مثل الممارسة، لأن الشروط لم تُوازَن

لماذا هذه هي الإجابة

عندما يمر جميع المشاركين بالشروط بالترتيب نفسه قد يعكس التحسن الممارسةَ لا القائمة. وتضبط الموازنة (ABBA أو نصفهم AB ونصفهم BA) ذلك.

الإجابة

B · آثار الترتيب مثل الممارسة، لأن الشروط لم تُوازَن

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,04

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 241/7 = 34,43

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−4,429)² + 14,57² + 14,57² + (−19,43)² + (−22,43)² + 2,571² + 14,57² = 1544

الانحراف المعياري

s = √(1544/6) = 16,04

الإجابة

s = 16,04

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 1,25

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (562,5 − 500)/50 = 1,25

الإجابة

z = 1,25

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 106

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 10·0,3 + 20·0,35 + 30·0,2 + 40·0,15 = 22

متوسط المربعات

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,35 + 900·0,2 + 1600·0,15 = 590

التباين

Var(X) = 590 − 22² = 106

الإجابة

Var(X) = 106

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,1168

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 4) = 126·0,25⁴·0,75⁵ = 126·0,003906·0,2373 = 0,1168

الإجابة

P = 0,1168

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,32

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,8132)/2 = 0,9066

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9066 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,32

الإجابة

z = 1,32

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 124,7 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

العودة إلى x

x = 100 + 1,645·15 = 124,67 درجة

الإجابة

x = 124,67 درجة

9.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 5,623

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(36/36) = 0,8393

الهامش الجديد

E₂ = 6,7·0,8393 = 5,623

الإجابة

E₂ = 5,623

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 348

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·34/3)² = 347,6

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 348

الإجابة

n = 348

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,393

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

التباين المجمَّع

s_p² = (4·2² + 16·9,5²)/20 = 73

s_p = 8,544

الخطأ المعياري

SE = 8,544·√(1/5 + 1/17) = 4,347

إحصائية الاختبار

t = (24,5 − 14,1)/4,347 = 2,393

الإجابة

t = 2,393

مع df = 20، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,086؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = 0,7738

نسبتا العينتين

p̂₁ = 165/300 = 0,55

p̂₂ = 61/120 = 0,5083

p̂ = 226/420 = 0,5381

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,5381·0,4619·(1/300 + 1/120)) = 0,05385

إحصائية الاختبار

z = (0,55 − 0,5083)/0,05385 = 0,7738

الإجابة

z = 0,7738

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9072

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 234/5 = 46,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 184,8

معامل الارتباط

r = 78/√(40·184,8) = 0,9072

الإجابة

r = 0,9072

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 4,35

المتوسطات

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 496/5 = 99,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 393

خط الانحدار

b = 393/90 = 4,367

a = 99,2 − 4,367·22 = 3,133

ŷ = 3,133 + 4,367·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 3,133 + 4,367·20,5 = 92,65

البُواقي

e = 97 − 92,65 = 4,35

الإجابة

e = 4,35

تقع النقطة فوق الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 42,25

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الدواء الجديد: 100·154/220 = 70, 100·66/220 = 30

الدواء الوهمي: 120·154/220 = 84, 120·66/220 = 36

إحصاءة مربع كاي

χ² = (48 − 70)²/70 + (52 − 30)²/30 + (106 − 84)²/84 + (14 − 36)²/36

χ² = 42,25

الإجابة

χ² = 42,25

df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 8

درجات الحرية

df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8

الإجابة

df = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology