مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

في تصميم القياسات المتكررة يمكن ضبط تأثيرات الترتيب عن طريق:

Aإجراءات التعمية الأحادية
Bالمعاينة العشوائية
Cالموازنة (counterbalancing)
Dعيّنة أكبر فقط

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تجد دراسة ارتباطًا قدره r = 0,05 بين الطول ومعدل الذكاء لدى لاعبي كرة السلة المحترفين فقط، رغم أنه أعلى في عموم السكان. ما الذي يفسر الارتباط الضعيف على أفضل نحو؟

Aخصائص الطلب
Bتقييد المدى
Cأثر السقف في اختبارات الذكاء
Dالانحدار نحو المتوسط

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 32, 46, 15, 43, 23, 11, 25.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 5. ما نسبة P القيم الأكبر من 63؟

μ = 60σ = 5x = 63

P =

5.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 8 كرات حمراء و9 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

8 / 9

P =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 10 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,5، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 1 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 10p = 0,5k = 1

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,8810. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,8810

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات معدل الذكاء (IQ) توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 75% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 100 درجةσ = 15 درجة75%

x = درجة

9.فترات الثقةمتوسطة

فترة ثقة 95% لمتوسط، مبنية على 36 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 10,3. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 90% من البيانات نفسها؟

95%n₁ = 36E₁ = 10,390%

E₂ =

10.فترات الثقةصعبة

تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,7 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للنسبة 0,04 على الأكثر؟

p ≈ 0,7E = 0,0490%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 36 طالبًا متوسط درجاتها 499,1 وانحرافها المعياري 4. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 499,1s = 4n = 36

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 99% للمتوسط 1 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 4. أوجد أصغر حجم عينة n.

σ = 4E = 199%

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 66؟

n = 5ŷ = 66

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الطلاب، الحافلة».

مجموع الصف = 92مجموع العمود = 58N = 140

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2803 × 2α = 0,01

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · الموازنة (counterbalancing)

لماذا هذه هي الإجابة

توزّع الموازنة تأثيرات التمرّن والتعب بالتساوي على الشروط.

الإجابة

C · الموازنة (counterbalancing)

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · تقييد المدى

لماذا هذه هي الإجابة

عندما لا تغطي العينة إلا مدى ضيقًا من متغير ما، تضعف الارتباطات التي يدخل فيها. ولاعبو كرة السلة جميعهم طوال القامة، فالطول لا يتفاوت إلا قليلًا.

الإجابة

B · تقييد المدى

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,27

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 195/7 = 27,86

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 4,143² + 18,14² + (−12,86)² + 15,14² + (−4,857)² + (−16,86)² + (−2,857)² = 1057

الانحراف المعياري

s = √(1057/6) = 13,27

الإجابة

s = 13,27

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,2743

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 0,6

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

الإجابة

P = 0,2743

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,2059

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 8/17 · 7/16 = 56/272 = 0,2059

الإجابة

P = 0,2059

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,009766

صيغة ذي الحدين

P(X = 1) = 10·0,5¹·0,5⁹ = 10·0,5·0,001953 = 0,009766

الإجابة

P = 0,009766

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = −1,18

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,8810 = 0,1190

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,1190 داخل الجدول واقرأ z.

z = −1,18

الإجابة

z = −1,18

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 90 درجة

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,25

z من الجدول

z ≈ −0,67

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 100 − 0,67·15 = 90 درجة

الإجابة

x = 90 درجة

9.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 8,645

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(36/36) = 0,8393

الهامش الجديد

E₂ = 10,3·0,8393 = 8,645

الإجابة

E₂ = 8,645

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 356

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,645²·0,7·0,3/0,04² = 355,2

قرّب إلى الأعلى

n = 356

الإجابة

n = 356

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,35

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

إحصائية الاختبار

t = (499,1 − 500)/0,6667 = −1,35

الإجابة

t = −1,35

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 107

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·4/1)² = 106,2

قرّب إلى الأعلى

n = 107

الإجابة

n = 107

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9816

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 135/5 = 27

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 604

معامل التحديد

r² = 154²/(40·604) = 0,9816

الإجابة

r² = 0,9816

نحو 98,16% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 22,48

المتوسطات

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 308/5 = 61,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 267

خط الانحدار

b = 267/90 = 2,967

a = 61,6 − 2,967·21 = −0,7

ŷ = −0,7 + 2,967·x

حلّ لإيجاد x

x = (66 − (−0,7))/2,967 = 22,48

الإجابة

x = 22,48

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 38,11

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 92·58/140 = 38,11

الإجابة

E = 38,11

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 33,94

التكرارات المتوقَّعة

خط الإنتاج 1: 64, 16

خط الإنتاج 2: 80, 20

خط الإنتاج 3: 80, 20

إحصاءة مربع كاي

χ² = (50 − 64)²/64 + (30 − 16)²/16 + (77 − 80)²/80 + (23 − 20)²/20 + (97 − 80)²/80 + (3 − 20)²/20

χ² = 33,94

القرار

df = 2, χ²_crit = 9,210

33,94 > 9,210

الإجابة

χ² = 33,94

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology