الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
يدرس باحث أثر الجنس في درجات الذاكرة. لماذا تُعد هذه شبه تجربة لا تجربة حقيقية؟
- Aلأن الدراسة تجري في مختبر
- Bلا يوجد إلا شرطان، والتجربة الحقيقية تحتاج إلى ثلاثة مستويات على الأقل للمتغير المستقل
- Cلأن المتغير التابع لا يُقاس
- Dلأن المتغير المستقل خاصية موجودة مسبقًا، فلا يمكن توزيع المشاركين عليه عشوائيًا
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
يستخدم باحث استبيانًا ومقابلات وملاحظة لدراسة ضغط العمل، وتتفق النتائج. ماذا يُسمّى هذا النهج؟
- Aالتثليث
- Bإعادة التجربة
- Cالموازنة
- Dالتطبيق الطبقي
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 29, 25, 16, 42, 25, 29, 37.
n = 7
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 10. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 62.
μ = 70σ = 10x = 62
z =
5.الاحتمالمتوسطة
يحتوي كيس على 6 كرات حمراء و9 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟
6 / 9
P =
6.الاحتمالصعبة
يُختبر 9 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,5. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 9p = 0,5
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
X طبيعي بمتوسط 250 g وانحراف معياري 4 g؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 500 g وانحراف معياري 9 g. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 742,1 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 742,1 g
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
أطوال الرجال X وأطوال النساء Y في مجموعة مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 180 cm وانحراف معياري 10 cm، ولـ Y متوسط 170 cm وانحراف معياري 12 cm. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 6 مفردة متوسطها 69,5 وانحرافها المعياري s = 3,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للمتوسط.
n = 6x̄ = 69,5s = 3,599%t(5) = 4,032
الحد الأعلى =
10.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 30. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 3 على الأكثر؟
σ = 30E = 399%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 16 طالبًا متوسط درجاتها 488,4 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 488,4s = 15n = 16
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 25 قياسًا متوسطها 502,4. الانحراف المعياري للمجتمع 4. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 95% للمتوسط.
x̄ = 502,4σ = 4n = 2595%
U =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 6
r² =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 23؟
n = 6ŷ = 23
x =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «حضري، مرتفع».
مجموع الصف = 77مجموع العمود = 78N = 164
E =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 2 صفوف و 3 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟
2 × 3
df =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · لأن المتغير المستقل خاصية موجودة مسبقًا، فلا يمكن توزيع المشاركين عليه عشوائيًا
لماذا هذه هي الإجابة
في شبه التجربة يكون المتغير المستقل فرقًا قائمًا بطبيعته بين الناس. ودون التوزيع العشوائي قد تُربك الفروق الأخرى بين المجموعات النتائج.
الإجابة
D · لأن المتغير المستقل خاصية موجودة مسبقًا، فلا يمكن توزيع المشاركين عليه عشوائيًا
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: A · التثليث
لماذا هذه هي الإجابة
يستخدم التثليث طرقًا أو مصادر أو باحثين متعددين، ويزيد الاتفاق بينها الثقة في صدق النتائج.
الإجابة
A · التثليث
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 8,505
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 203/7 = 29
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 0² + (−4)² + (−13)² + 13² + (−4)² + 0² + 8² = 434
الانحراف المعياري
s = √(434/6) = 8,505
الإجابة
s = 8,505
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = −0,8
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (62 − 70)/10 = −0,8
الإجابة
z = −0,8
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,1429
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
السحبة الأولى والثانية
P = 6/15 · 5/14 = 30/210 = 0,1429
الإجابة
P = 0,1429
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,01953
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,59 = 0,001953
P(X = 1) = 9·0,5·0,58 = 0,01758
اجمعها
P = 0,001953 + 0,01758 = 0,01953
الإجابة
P = 0,01953
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,7881
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع المجموع
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (742,1 − 750)/9,849 = −0,8
الذيل العلوي
P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881
الإجابة
P = 0,7881
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,7389
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع الفرق
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
الاحتمال
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
الإجابة
P = 0,7389
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 75,26
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 5, t = 4,032
هامش الخطأ
E = 4,032·3,5/√6 = 5,761
الفترة
69,5 ± 5,761 → [63,74, 75,26]
الإجابة
الحد الأعلى = 75,26
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 664
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (2,576·30/3)² = 663,6
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 664
الإجابة
n = 664
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −3,093
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75
إحصائية الاختبار
t = (488,4 − 500)/3,75 = −3,093
الإجابة
t = −3,093
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: U = 504
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 1,96·4/√25 = 1,568
حد الفترة
U = 502,4 + 1,568 = 504
الإجابة
U = 504
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,983
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 481/6 = 80,17
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 415
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2503
معامل التحديد
r² = 415²/(70·2503) = 0,983
الإجابة
r² = 0,983
نحو 98,3% من التباين في y يفسّره الخط.
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 2,439
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 130/6 = 21,67
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
خط الانحدار
b = −22/17,5 = −1,257
a = 21,67 − (−1,257)·3,5 = 26,07
ŷ = 26,07 − 1,257·x
حلّ لإيجاد x
x = (23 − 26,07)/(−1,257) = 2,439
الإجابة
x = 2,439
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: E = 36,62
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرار المتوقَّع
E = 77·78/164 = 36,62
الإجابة
E = 36,62
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: df = 2
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2
الإجابة
df = 2
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology