مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يشير تحيّز النشر إلى:

Aأن الباحثين ينشرون الدراسة نفسها مرتين
Bأن المحكّمين يفضّلون أوراق المؤلفين من الجامعات الشهيرة على الجامعات الأقل شهرة
Cأن المجلات لا تنشر إلا البحوث النوعية
Dأن الدراسات ذات النتائج الدالة أرجح نشرًا من النتائج الصفرية

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يقارن باحث ثلاثة متوسطات أو أكثر. لماذا يُستخدم تحليل التباين الأحادي بدلًا من عدة اختبارات t؟

Aلا تتعامل اختبارات t مع أعداد أكبر من 100
Bيجد تحليل التباين دائمًا تأثيرات أكبر مما تجده مجموعة اختبارات t المكافئة
Cتؤدي الاختبارات المتعددة إلى تضخّم المعدل الكلي لخطأ النوع الأول
Dتحتاج اختبارات t إلى بيانات نوعية

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 37, 55, 14, 41, 34, 36, 22.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 12. ما نسبة P القيم الأقل من 112؟

μ = 100σ = 12x = 112

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 0,5X − 3. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,15, 0,3, 0,25, 0,1Y = 0,5X − 3

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,6554. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,6554

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أطوال الرجال X وأطوال النساء Y في مجموعة مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 180 cm وانحراف معياري 10 cm، ولـ Y متوسط 170 cm وانحراف معياري 12 cm. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

فترة ثقة 95% لمتوسط، مبنية على 25 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 1,2. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 90% من البيانات نفسها؟

95%n₁ = 25E₁ = 1,290%

E₂ =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 20. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 3 على الأكثر؟

σ = 20E = 395%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 80 جزءًا متوسط طولها 101 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 3 mm. الخط 2: عينة من 40 جزءًا متوسطها 99,6 mm، والانحراف المعياري المعلوم 5 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).

n₁ = 80x̄₁ = 101 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 40x̄₂ = 99,6 mmσ₂ = 5 mm

z =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 36 قياسًا متوسطها 51,5. الانحراف المعياري للمجتمع 5. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 51,5σ = 5n = 3695%

U =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 129Σy = 416Σx² = 2931Σy² = 30798Σxy = 9481

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 107؟

n = 6ŷ = 107

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 2002 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 1803 × 2α = 0,01

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · أن الدراسات ذات النتائج الدالة أرجح نشرًا من النتائج الصفرية

لماذا هذه هي الإجابة

عندما تبقى الدراسات غير الدالة في أدراج الملفات تبالغ الأدبيات المنشورة في تقدير أحجام الأثر، مما يشوّه التحليلات البعدية.

الإجابة

D · أن الدراسات ذات النتائج الدالة أرجح نشرًا من النتائج الصفرية

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · تؤدي الاختبارات المتعددة إلى تضخّم المعدل الكلي لخطأ النوع الأول

لماذا هذه هي الإجابة

إجراء اختبارات ثنائية كثيرة يضاعف فرصة النتيجة الإيجابية الكاذبة. يختبر تحليل التباين جميع المجموعات معًا، ثم تُجرى اختبارات بعدية مصحّحة.

الإجابة

C · تؤدي الاختبارات المتعددة إلى تضخّم المعدل الكلي لخطأ النوع الأول

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,21

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 239/7 = 34,14

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 2,857² + 20,86² + (−20,14)² + 6,857² + (−0,1429)² + 1,857² + (−12,14)² = 1047

الانحراف المعياري

s = √(1047/6) = 13,21

الإجابة

s = 13,21

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,8413

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 0,6475

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

التباين

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

الإجابة

Var(X) = 0,6475

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 0,6305

تشتت X

μ = 2,9, Var(X) = 1,59, σ_X = 1,261

التغيير الخطي

σ_Y = |0,5|·1,261 = 0,6305

الإجابة

σ_Y = 0,6305

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 0,5·2,9 − 3 = −1,55.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = −0,4

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,6554 = 0,3446

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,3446 داخل الجدول واقرأ z.

z = −0,40

الإجابة

z = −0,40

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7389

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

الإجابة

P = 0,7389

9.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 1,007

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(25/25) = 0,8393

الهامش الجديد

E₂ = 1,2·0,8393 = 1,007

الإجابة

E₂ = 1,007

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 171

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·20/3)² = 170,7

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 171

الإجابة

n = 171

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = 1,63

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

الخطأ المعياري للفرق

SE = √(3²/80 + 5²/40) = √0,7375 = 0,8588

إحصائية الاختبار

z = (101 − 99,6)/0,8588 = 1,63

الإجابة

z = 1,63

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 53,13

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,96·5/√36 = 1,633

حد الفترة

U = 51,5 + 1,633 = 53,13

الإجابة

U = 53,13

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9677

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 9481 − 129·416/6 = 537

S_xx = 2931 − 129²/6 = 157,5

S_yy = 30798 − 416²/6 = 1955

معامل الارتباط

r = 537/√(157,5·1955) = 0,9677

الإجابة

r = 0,9677

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 24,91

المتوسطات

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 535/6 = 89,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 319

خط الانحدار

b = 319/70 = 4,557

a = 89,17 − 4,557·21 = −6,533

ŷ = −6,533 + 4,557·x

حلّ لإيجاد x

x = (107 − (−6,533))/4,557 = 24,91

الإجابة

x = 24,91

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 29,88

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

حضري: 120·50/200 = 30, 120·70/200 = 42, 120·80/200 = 48

ريفي: 80·50/200 = 20, 80·70/200 = 28, 80·80/200 = 32

إحصاءة مربع كاي

χ² = (26 − 30)²/30 + (28 − 42)²/42 + (66 − 48)²/48 + (24 − 20)²/20 + (42 − 28)²/28 + (14 − 32)²/32

χ² = 29,88

الإجابة

χ² = 29,88

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 9,022

التكرارات المتوقَّعة

العمر 18–30: 45, 15

العمر 31–50: 30, 10

العمر 51+: 60, 20

إحصاءة مربع كاي

χ² = (46 − 45)²/45 + (14 − 15)²/15 + (23 − 30)²/30 + (17 − 10)²/10 + (66 − 60)²/60 + (14 − 20)²/20

χ² = 9,022

القرار

df = 2, χ²_crit = 9,210

9,022 < 9,210

الإجابة

χ² = 9,022

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology