الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
دراسة مسجلة مسبقًا (preregistered). هذا يعني أن:
- Aالنتائج فحصها وأقرّها إحصائي ثانٍ مستقل قبل النشر
- Bالدراسة نُشرت بالفعل
- Cالفرضيات والطرق وخطة التحليل سُجّلت علنًا قبل جمع البيانات
- Dالمشاركين سجّلوا موافقتهم عبر الإنترنت
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
يُجري باحث خمسة اختبارات t ويريد إبقاء معدل الخطأ الكلي من النوع الأول عند 0,05 باستخدام تصحيح بونفيروني. ما مستوى الدلالة الذي يجب استخدامه لكل اختبار؟
- A0,025
- B0,25
- C0,01
- D0,05
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 31, 20, 41, 25, 52.
n = 5
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 100. ما نسبة P القيم الأقل من 380؟
μ = 500σ = 100x = 380
P =
5.الاحتمالمتوسطة
يحتوي كيس على 7 كرات حمراء و8 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟
7 / 8
P =
6.الاحتمالصعبة
يحتوي اختبار على 7 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,3، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 2 إجابات صحيحة بالضبط؟
n = 7p = 0,3k = 2
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,9066. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,9066
z =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 15% على يمينه. أوجد حد القطع x.
μ = 178 cmσ = 7 cm15%
x = cm
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 20 مفردة متوسطها 46,5 وانحرافها المعياري s = 10,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 95% للمتوسط.
n = 20x̄ = 46,5s = 10,595%t(19) = 2,093
E =
10.فترات الثقةصعبة
لأقطار 11 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 8 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأدنى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 10، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 3,247 و 2,5% فوق 20,483.
n = 11s = 8 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
يجري 10 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق 3,39 والانحراف المعياري للفروق 3,7. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = 3,39sd = 3,7
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 50 مقابل H₁: μ > 50 عند α = 0,10 بعينة من 25؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 15. في الواقع المتوسط 54,5. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.
μ₀ = 50μ = 54,5σ = 15n = 25α = 0,10
1 − β = %
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 5
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 77؟
n = 5ŷ = 77
x =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 2402 × 3
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 9 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. كم درجة حرية df للاختبار؟
k = 9
df =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · الفرضيات والطرق وخطة التحليل سُجّلت علنًا قبل جمع البيانات
لماذا هذه هي الإجابة
يفصل التسجيل المسبق بين التحليلات التأكيدية والاستكشافية ويقلل ممارسات مثل التلاعب بقيمة p (p-hacking) وHARKing.
الإجابة
C · الفرضيات والطرق وخطة التحليل سُجّلت علنًا قبل جمع البيانات
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · 0,01
لماذا هذه هي الإجابة
يقسم تصحيح بونفيروني α على عدد المقارنات: 0,05 / 5 = 0,01. وهو بسيط لكنه متحفظ، مما يزيد خطر الأخطاء من النوع الثاني.
الإجابة
C · 0,01
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 12,83
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 169/5 = 33,8
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−2,8)² + (−13,8)² + 7,2² + (−8,8)² + 18,2² = 658,8
الانحراف المعياري
s = √(658,8/4) = 12,83
الإجابة
s = 12,83
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,1151
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = −1,2
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
الإجابة
P = 0,1151
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,2
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
السحبة الأولى والثانية
P = 7/15 · 6/14 = 42/210 = 0,2
الإجابة
P = 0,2
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,3177
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صيغة ذي الحدين
P(X = 2) = 21·0,32·0,75 = 21·0,09·0,1681 = 0,3177
الإجابة
P = 0,3177
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = −1,32
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = 1 − 0,9066 = 0,0934
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,0934 داخل الجدول واقرأ z.
z = −1,32
الإجابة
z = −1,32
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 185,3 cm
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على اليسار
Φ(z) = 0,85
z من الجدول
z ≈ 1,04
العودة إلى الوحدات الأصلية
x = 178 + 1,04·7 = 185,3 cm
الإجابة
x = 185,3 cm
9.فترات الثقة
الإجابة: E = 4,914
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 19, t = 2,093
هامش الخطأ
E = 2,093·10,5/√20 = 4,914
الإجابة
E = 4,914
10.فترات الثقة
الإجابة: σ = 5,59 µm
فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.
مجموع المربعات
(n − 1)s² = 10·8² = 640
حدّا σ²
640/20,483 = 31,25
640/3,247 = 197,1
حدّ σ
σ = √31,25 = 5,59 µm
الإجابة
σ = 5,59 µm
فترة 95% لـ σ: [5,59, 14,04] µm.
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 2,897
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
الخطأ المعياري لمتوسط الفروق
SE = 3,7/√10 = 1,17
إحصائية الاختبار
t = 3,39/1,17 = 2,897
الإجابة
t = 2,897
مع df = 9، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,262؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: 1 − β = 58,63 %
قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
متوسط العينة الحرج
SE = 15/√25 = 3
x̄c = 50 + 1,282·3 = 53,85
z وفق المتوسط الحقيقي
z = (53,85 − 54,5)/3 = −0,218
القدرة
القوة = P(Z > −0,218) = 58,63%
1 − β = 58,63%
الإجابة
1 − β = 58,63%
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9848
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 54/5 = 10,8
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60
Syy = Σ(y − ȳ)² = 92,8
معامل الارتباط
r = 60/√(40·92,8) = 0,9848
الإجابة
r = 0,9848
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 6,5
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 349/5 = 69,8
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48
خط الانحدار
b = 48/10 = 4,8
a = 69,8 − 4,8·5 = 45,8
ŷ = 45,8 + 4,8·x
حلّ لإيجاد x
x = (77 − 45,8)/4,8 = 6,5
الإجابة
x = 6,5
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 4,556
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
المناوبة النهارية: 120·72/240 = 36, 120·72/240 = 36, 120·96/240 = 48
المناوبة الليلية: 120·72/240 = 36, 120·72/240 = 36, 120·96/240 = 48
إحصاءة مربع كاي
χ² = (39 − 36)²/36 + (41 − 36)²/36 + (40 − 48)²/48 + (33 − 36)²/36 + (31 − 36)²/36 + (56 − 48)²/48
χ² = 4,556
الإجابة
χ² = 4,556
df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: df = 7
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 9 − 1 − 1 = 7
الإجابة
df = 7
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology