الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
دراسة مسجلة مسبقًا (preregistered). هذا يعني أن:
- Aالنتائج فحصها وأقرّها إحصائي ثانٍ مستقل قبل النشر
- Bالدراسة نُشرت بالفعل
- Cالمشاركين سجّلوا موافقتهم عبر الإنترنت
- Dالفرضيات والطرق وخطة التحليل سُجّلت علنًا قبل جمع البيانات
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
ما الهدف الرئيسي من التوزيع العشوائي على الشروط في التجربة؟
- Aتوزيع متغيرات المشاركين بالتساوي كي لا تُربك النتائج
- Bضمان ألا يعرف المشاركون الهدف
- Cزيادة معدل الاستجابة
- Dجعل العيّنة ممثِّلة للمجتمع المستهدف لتُعمَّم النتائج
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 21, 26, 41, 50, 29, 19, 56.
n = 7
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 20. ما نسبة P القيم الأقل من 40؟
μ = 70σ = 20x = 40
P =
5.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,3, 0,2, 0,35
σ =
6.الاحتمالصعبة
تكلفة لعبة €1 للمشاركة. تربح €2 باحتمال 0,2 و€50 باحتمال 0,01؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.
مبلغ المشاركة = €1€2: p = 0,2€50: p = 0,01
E(G) = €
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,9452. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,9452
z =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 75% منها (المئين 75).
μ = 500σ = 40P = 75%
x = h
9.فترات الثقةمتوسطة
يُقاس ضغط الدم لـ 15 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 4,8 وانحرافها المعياري 8. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% لمتوسط الفروق.
n = 15d̄ = 4,8sd = 890%t(14) = 1,761
الحد الأدنى = mmHg
10.فترات الثقةصعبة
يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 10 قطعة، متوسط المحصول 34,5 kg، الانحراف المعياري 3 kg. مجموعة القطع 2: 6 قطعة، المتوسط 36 kg، الانحراف المعياري 6 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 10x̄₁ = 34,5s₁ = 3n₂ = 6x̄₂ = 36s₂ = 690%t(14) = 1,761
E = kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 198,6 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 198,6s = 5n = 25
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 36 قياسًا متوسطها 123,8. الانحراف المعياري للمجتمع 10. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 90% للمتوسط.
x̄ = 123,8σ = 10n = 3690%
L =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 6
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (25, 73). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 6(25, 73)
e =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 2002 × 2
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 3 صفوف و 4 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟
3 × 4
df =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · الفرضيات والطرق وخطة التحليل سُجّلت علنًا قبل جمع البيانات
لماذا هذه هي الإجابة
يفصل التسجيل المسبق بين التحليلات التأكيدية والاستكشافية ويقلل ممارسات مثل التلاعب بقيمة p (p-hacking) وHARKing.
الإجابة
D · الفرضيات والطرق وخطة التحليل سُجّلت علنًا قبل جمع البيانات
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: A · توزيع متغيرات المشاركين بالتساوي كي لا تُربك النتائج
لماذا هذه هي الإجابة
يوازن التوزيع العشوائي الفروق الفردية بين الشروط ويدعم الاستنتاجات السببية، أما المعاينة العشوائية فتتعلق بالتعميم على المجتمع.
الإجابة
A · توزيع متغيرات المشاركين بالتساوي كي لا تُربك النتائج
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 14,55
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 242/7 = 34,57
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−13,57)² + (−8,571)² + 6,429² + 15,43² + (−5,571)² + (−15,57)² + 21,43² = 1270
الانحراف المعياري
s = √(1270/6) = 14,55
الإجابة
s = 14,55
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,06681
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = −1,5
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
الإجابة
P = 0,06681
5.الاحتمال
الإجابة: σ = 1,09
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,15 + 1·0,3 + 2·0,2 + 3·0,35 = 1,75
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,15 + 1·0,3 + 4·0,2 + 9·0,35 = 4,25
التباين
Var(X) = 4,25 − 1,75² = 1,188
σ = √1,188 = 1,09
الإجابة
σ = 1,09
6.الاحتمال
الإجابة: E(G) = −0,1 €
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
النتائج الصافية
G: 1 (p = 0,2), 49 (p = 0,01), −1 (p = 0,79)
القيمة المتوقعة
E(G) = 1·0,2 + 49·0,01 − 1·0,79 = −0,1 €
الإجابة
E(G) = −0,1 €
القيمة السالبة تعني أنك تخسر مالًا في المتوسط.
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = −1,6
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = 1 − 0,9452 = 0,0548
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,0548 داخل الجدول واقرأ z.
z = −1,60
الإجابة
z = −1,60
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 527 h
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
العودة إلى x
x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h
الإجابة
x = 526,98 h
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأدنى = 1,162 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
القيمة الحرجة
df = 14, t = 1,761
هامش الخطأ
E = 1,761·8/√15 = 3,638
الفترة
4,8 ± 3,638 → [1,162, 8,438]
الإجابة
الحد الأدنى = 1,162 mmHg
10.فترات الثقة
الإجابة: E = 3,926 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
الانحراف المعياري المجمَّع
sp² = (9·3² + 5·6²)/14 = 18,64
sp = 4,318
هامش الخطأ
E = 1,761·4,318·√(1/10 + 1/6) = 3,926
الإجابة
E = 3,926 kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −1,4
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 5/√25 = 5/5 = 1
إحصائية الاختبار
t = (198,6 − 200)/1 = −1,4
الإجابة
t = −1,4
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: L = 121,1
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 1,645·10/√36 = 2,742
حد الفترة
L = 123,8 − 2,742 = 121,1
الإجابة
L = 121,1
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = −0,973
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 126/6 = 21
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Syy = Σ(y − ȳ)² = 44
معامل الارتباط
r = −27/√(17,5·44) = −0,973
الإجابة
r = −0,973
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = 3,243
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 381/6 = 63,5
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 219
خط الانحدار
b = 219/70 = 3,129
a = 63,5 − 3,129·23 = −8,457
ŷ = −8,457 + 3,129·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = −8,457 + 3,129·25 = 69,76
البُواقي
e = 73 − 69,76 = 3,243
الإجابة
e = 3,243
تقع النقطة فوق الخط.
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 0,8571
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
المدخّنون: 100·140/200 = 70, 100·60/200 = 30
غير المدخّنين: 100·140/200 = 70, 100·60/200 = 30
إحصاءة مربع كاي
χ² = (73 − 70)²/70 + (27 − 30)²/30 + (67 − 70)²/70 + (33 − 30)²/30
χ² = 0,8571
الإجابة
χ² = 0,8571
df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: df = 6
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6
الإجابة
df = 6
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology