مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

في توزيع ملتوٍ التواءً موجبًا، مثل الدخل:

Aيكون المتوسط أصغر من الوسيط
Bلا توجد درجات متطرفة
Cيتساوى المتوسط والوسيط دائمًا
Dيكون المتوسط أكبر من الوسيط

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يُجري باحث خمسة اختبارات t ويريد إبقاء معدل الخطأ الكلي من النوع الأول عند 0,05 باستخدام تصحيح بونفيروني. ما مستوى الدلالة الذي يجب استخدامه لكل اختبار؟

A0,025
B0,25
C0,01
D0,05

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 48, 23, 24, 35, 18, 38, 57.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 15. ما نسبة P القيم الأقل من 27,5؟

μ = 50σ = 15x = 27,5

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,15, 0,35, 0,15, 0,25

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 10X + 5. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,2, 0,25, 0,35Y = 10X + 5

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,7017. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,7017

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أعمار البطاريات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 30% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 500 hσ = 40 h30%

x = h

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 7 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها −2,7 وانحرافها المعياري 1,8. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% لمتوسط الفروق.

n = 7d̄ = −2,7s_d = 1,890%t(6) = 1,943

الحد الأدنى = mmHg

10.فترات الثقةصعبة

لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للنسبة 0,04 على الأكثر؟

p = 0,5E = 0,0495%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 80؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 32. متوسط عينة عشوائية من 64 مشاهدة هو 76,32. اختبر H₀: μ = 80 مقابل H₁: μ < 80. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 80σ = 32n = 64x̄ = 76,32H₁: μ < μ₀

p =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 81 قياسًا متوسطها 119,4. الانحراف المعياري للمجتمع 5. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 90% للمتوسط.

x̄ = 119,4σ = 5n = 8190%

L =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 30Σy = 104Σx² = 220Σy² = 2622Σxy = 758

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 26,5.

n = 6x = 26,5

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 2002 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 2 صفوف و 3 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟

2 × 3

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · يكون المتوسط أكبر من الوسيط

لماذا هذه هي الإجابة

ترفع قيم قليلة مرتفعة جدًا في الذيل الأيمن المتوسطَ فوق الوسيط، ولهذا يُذكر الوسيط كثيرًا في البيانات الملتوية.

الإجابة

D · يكون المتوسط أكبر من الوسيط

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · 0,01

لماذا هذه هي الإجابة

يقسم تصحيح بونفيروني α على عدد المقارنات: 0,05 / 5 = 0,01. وهو بسيط لكنه متحفظ، مما يزيد خطر الأخطاء من النوع الثاني.

الإجابة

C · 0,01

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 14,23

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 243/7 = 34,71

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 13,29² + (−11,71)² + (−10,71)² + 0,2857² + (−16,71)² + 3,286² + 22,29² = 1215

الانحراف المعياري

s = √(1215/6) = 14,23

الإجابة

s = 14,23

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,06681

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

الإجابة

P = 0,06681

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,61

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,1 + 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,15 + 4·0,25 = 2,3

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,15 + 16·0,25 = 6,9

التباين

Var(X) = 6,9 − 2,3² = 1,61

الإجابة

Var(X) = 1,61

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 113,5

تشتت X

μ = 27,5, Var(X) = 128,8, σ_X = 11,35

التغيير الخطي

σ_Y = |10|·11,35 = 113,5

الإجابة

σ_Y = 113,5

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 10·27,5 + 5 = 280.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,04

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,7017)/2 = 0,8508

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,8508 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,04

الإجابة

z = 1,04

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 479 h

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,3

z من الجدول

z ≈ −0,52

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 500 − 0,52·40 = 479 h

الإجابة

x = 479 h

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −4,022 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 6, t = 1,943

هامش الخطأ

E = 1,943·1,8/√7 = 1,322

الفترة

−2,7 ± 1,322 → [−4,022, −1,378]

الإجابة

الحد الأدنى = −4,022 mmHg

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 601

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,04² = 600,2

قرّب إلى الأعلى

n = 601

الإجابة

n = 601

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,1788

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 32/√64 = 4

z = (76,32 − 80)/4 = −0,92

مساحة الذيل

Φ(0,92) = 0,8212

1 − Φ(0,92) = 0,1788

القيمة الاحتمالية

p = 0,1788

الإجابة

p = 0,1788

p > 0,05، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 118,5

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,645·5/√81 = 0,9139

حد الفترة

L = 119,4 − 0,9139 = 118,5

الإجابة

L = 118,5

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9892

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 758 − 30·104/5 = 134

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2622 − 104²/5 = 458,8

معامل الارتباط

r = 134/√(40·458,8) = 0,9892

الإجابة

r = 0,9892

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 102,8

المتوسطات

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 535/6 = 89,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 715,5

خط الانحدار

b = 715,5/157,5 = 4,543

a = 89,17 − 4,543·23,5 = −17,59

ŷ = −17,59 + 4,543·x

التنبؤ

ŷ = −17,59 + 4,543·26,5 = 102,8

الإجابة

ŷ = 102,8

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 3,325

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

حضري: 80·40/200 = 16, 80·90/200 = 36, 80·70/200 = 28

ريفي: 120·40/200 = 24, 120·90/200 = 54, 120·70/200 = 42

إحصاءة مربع كاي

χ² = (21 − 16)²/16 + (34 − 36)²/36 + (25 − 28)²/28 + (19 − 24)²/24 + (56 − 54)²/54 + (45 − 42)²/42

χ² = 3,325

الإجابة

χ² = 3,325

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 2

درجات الحرية

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

الإجابة

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology