مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يشير الصدق الداخلي إلى:

Aما إذا كان الاختبار يعطي النتائج نفسها عبر الزمن
Bما إذا كانت النتائج تُعمَّم خارج الدراسة على مجتمعات وأماكن وأزمنة أخرى
Cما إذا كان الأثر الملاحَظ ناتجًا فعلًا عن المتغير المستقل لا عن عوامل أخرى
Dما إذا وجد المشاركون الدراسة ممتعة

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يستقطب قسم لعلم النفس المشاركين من مقررات علم النفس التمهيدية فقط، فيقول المنتقدون إن العينات «WEIRD». إلامَ يشير ذلك؟

Aعينات تنسحب مبكرًا من الدراسات
Bعينات مستقطبة بطرق عشوائية مرجّحة
Cعينات غربية ومتعلمة وصناعية وغنية وديمقراطية قد لا تُعمَّم نتائجها
Dعينات غريبة على نحو غير عادي في سلوكها

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 56, 20, 46, 48, 26, 29, 16.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 10. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 54.

μ = 50σ = 10x = 54

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

σ =

6.الاحتمالصعبة

يُختبر 6 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,2. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 6p = 0,2

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,0392. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,0392

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 90% منها (المئين 90).

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

9.فترات الثقةمتوسطة

فترة ثقة 90% لمتوسط، مبنية على 50 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 1. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 95% مبنية على 200 مشاهدة؟

90%n₁ = 50E₁ = 195%n₂ = 200

E₂ =

10.فترات الثقةصعبة

لأقطار 16 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 1,5 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 15، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 6,262 و 2,5% فوق 27,488.

n = 16s = 1,5 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 49 طالبًا متوسط درجاتها 48,46 وانحرافها المعياري 12. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,46s = 12n = 49

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 81 قياسًا متوسطها 194,9. الانحراف المعياري للمجتمع 20. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 99% للمتوسط.

x̄ = 194,9σ = 20n = 8199%

L =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 5,5.

n = 6x = 5,5

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1202 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 9 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 9

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · ما إذا كان الأثر الملاحَظ ناتجًا فعلًا عن المتغير المستقل لا عن عوامل أخرى

لماذا هذه هي الإجابة

يعني الصدق الداخلي المرتفع أن التفسيرات البديلة، مثل المتغيرات المُربِكة أو خصائص الطلب أو تحيّز المجرِّب، قد استُبعدت. أما الصدق الخارجي فيتعلق بالتعميم.

الإجابة

C · ما إذا كان الأثر الملاحَظ ناتجًا فعلًا عن المتغير المستقل لا عن عوامل أخرى

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · عينات غربية ومتعلمة وصناعية وغنية وديمقراطية قد لا تُعمَّم نتائجها

لماذا هذه هي الإجابة

لاحظ Henrich وزملاؤه أن معظم المشاركين في علم النفس يأتون من مجتمعات WEIRD (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic)، وهي غير ممثِّلة للبشرية، مما يهدد صدق المجتمع.

الإجابة

C · عينات غربية ومتعلمة وصناعية وغنية وديمقراطية قد لا تُعمَّم نتائجها

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 15,45

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 241/7 = 34,43

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 21,57² + (−14,43)² + 11,57² + 13,57² + (−8,429)² + (−5,429)² + (−18,43)² = 1432

الانحراف المعياري

s = √(1432/6) = 15,45

الإجابة

s = 15,45

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 0,4

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (54 − 50)/10 = 0,4

الإجابة

z = 0,4

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 0,8047

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

التباين

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

الإجابة

σ = 0,8047

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,6554

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,8⁶ = 0,2621

P(X = 1) = 6·0,2·0,8⁵ = 0,3932

اجمعها

P = 0,2621 + 0,3932 = 0,6554

الإجابة

P = 0,6554

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,76

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,0392 = 0,9608

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9608 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,76

الإجابة

z = 1,76

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 551,3 h

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

العودة إلى x

x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h

الإجابة

x = 551,26 h

9.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 0,5957

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(50/200) = 0,5957

الهامش الجديد

E₂ = 1·0,5957 = 0,5957

الإجابة

E₂ = 0,5957

10.فترات الثقة

الإجابة: σ = 2,322 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 15·1,5² = 33,75

حدّا σ²

33,75/27,488 = 1,228

33,75/6,262 = 5,39

حدّ σ

σ = √5,39 = 2,322 µm

الإجابة

σ = 2,322 µm

فترة 95% لـ σ: [1,108, 2,322] µm.

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −0,8983

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

إحصائية الاختبار

t = (48,46 − 50)/1,714 = −0,8983

الإجابة

t = −0,8983

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 189,2

هامش الخطأ

E = 2,576·20/√81 = 5,724

حد الفترة

L = 194,9 − 5,724 = 189,2

الإجابة

L = 189,2

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9197

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 684/6 = 114

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 376

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2196

معامل التحديد

r² = 376²/(70·2196) = 0,9197

الإجابة

r² = 0,9197

نحو 91,97% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 10,37

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 103/6 = 17,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −59,5

خط الانحدار

b = −59,5/17,5 = −3,4

a = 17,17 − (−3,4)·3,5 = 29,07

ŷ = 29,07 − 3,4·x

التنبؤ

ŷ = 29,07 + (−3,4)·5,5 = 10,37

الإجابة

ŷ = 10,37

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 5,708

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المناوبة النهارية: 40·18/120 = 6, 40·48/120 = 16, 40·54/120 = 18

المناوبة الليلية: 80·18/120 = 12, 80·48/120 = 32, 80·54/120 = 36

إحصاءة مربع كاي

χ² = (5 − 6)²/6 + (22 − 16)²/16 + (13 − 18)²/18 + (13 − 12)²/12 + (26 − 32)²/32 + (41 − 36)²/36

χ² = 5,708

الإجابة

χ² = 5,708

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 7

درجات الحرية

df = 9 − 1 − 1 = 7

الإجابة

df = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology