مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

تعني قيمة p تساوي 0,03 أنه:

Aالتأثير كبير
Bلو كانت الفرضية الصفرية صحيحة لظهرت بيانات بهذا التطرف في نحو 3% من الحالات
Cستتكرر النتيجة في 97% من الحالات
Dبالنظر إلى البيانات الملاحَظة، فاحتمال صحة الفرضية الصفرية 3% فقط

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يريد باحث أن يختبر ما إذا كانت طريقة تدريس جديدة تسبب درجات أفضل، لكنه لا يستطيع توزيع الطلاب عشوائيًا. أي تصميم يعطي أقوى دليل سببي في هذه الحالة؟

Aسؤال الطلاب عما إذا كانوا يظنون أن الطريقة نجحت
Bمقارنة صفوف متطابقة تُقاس قبل التدريس وبعده، مع مجموعة مقارنة
Cحساب الارتباط بين الدرجات ومدى حب الطلاب للمعلم
Dقياس الصف الذي يستخدم الطريقة الجديدة فقط بعد التدريس

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 31, 46, 18, 58, 18, 12.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 10. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 112,5.

μ = 100σ = 10x = 112,5

z =

5.الاحتمالمتوسطة

بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 5 أشخاص من مجموعة من 13؟ الترتيب غير مهم.

n = 13k = 5

N =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 5X + 4. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,25, 0,05, 0,15, 0,35Y = 5X + 4

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,9756. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,9756

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 75% منها (المئين 75).

μ = 500σ = 40P = 75%

x = h

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 80 هاتفًا، المتوسط 130 h، الانحراف المعياري المعلوم 17 h. الطراز 2: 50 هاتفًا، المتوسط 127,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 13 h. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 130 hσ₁ = 17 hn₂ = 50x̄₂ = 127,5 hσ₂ = 13 h90%

E = h

10.فترات الثقةصعبة

لأقطار 10 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 3,3 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 9، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 2,7 و 2,5% فوق 19,023.

n = 10s = 3,3 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 16 طالبًا متوسط درجاتها 197,3 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 197,3s = 5n = 16

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 80 مقابل H₁: μ > 80 عند α = 0,01 بعينة من 25؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 2,5. في الواقع المتوسط 81,45. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 80μ = 81,45σ = 2,5n = 25α = 0,01

1 − β = %

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 6.

n = 5x = 6

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «حضري، مرتفع».

مجموع الصف = 87مجموع العمود = 61N = 163

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 3 صفوف و 3 أعمدة (دون احتساب المجاميع). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²_crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · لو كانت الفرضية الصفرية صحيحة لظهرت بيانات بهذا التطرف في نحو 3% من الحالات

لماذا هذه هي الإجابة

قيمة p هي احتمال الحصول على نتائج متطرفة بقدر النتائج الملاحظة أو أكثر لو كانت الفرضية الصفرية صحيحة، ولا تعطي احتمال صحة فرضية ولا حجم التأثير.

الإجابة

B · لو كانت الفرضية الصفرية صحيحة لظهرت بيانات بهذا التطرف في نحو 3% من الحالات

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · مقارنة صفوف متطابقة تُقاس قبل التدريس وبعده، مع مجموعة مقارنة

لماذا هذه هي الإجابة

يضبط تصميم المجموعات غير المتكافئة مع قياس قبلي وبعدي الفروقَ الأولية والتغيرَ عبر الزمن، وإن كان أضعف من التجربة العشوائية.

الإجابة

B · مقارنة صفوف متطابقة تُقاس قبل التدريس وبعده، مع مجموعة مقارنة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 18,17

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 183/6 = 30,5

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 0,5² + 15,5² + (−12,5)² + 27,5² + (−12,5)² + (−18,5)² = 1652

الانحراف المعياري

s = √(1652/5) = 18,17

الإجابة

s = 18,17

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 1,25

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (112,5 − 100)/10 = 1,25

الإجابة

z = 1,25

5.الاحتمال

الإجابة: N = 1287

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

التوافيق

C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287

الإجابة

N = 1287

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 8

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 2,2, Var(X) = 2,56, σ_X = 1,6

التغيير الخطي

σ_Y = |5|·1,6 = 8

الإجابة

σ_Y = 8

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 5·2,2 + 4 = 15.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = −1,97

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,9756 = 0,0244

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,0244 داخل الجدول واقرأ z.

z = −1,97

الإجابة

z = −1,97

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 527 h

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

العودة إلى x

x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h

الإجابة

x = 526,98 h

9.فترات الثقة

الإجابة: E = 4,35 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 130 − 127,5 = 2,5

الخطأ المعياري

SE = √(17²/80 + 13²/50) = 2,644

هامش الخطأ

E = 1,645·2,644 = 4,35

الإجابة

E = 4,35 h

الفترة تحتوي على 0، لذا لا تُظهر البيانات فرقًا دالًّا إحصائيًا.

10.فترات الثقة

الإجابة: σ = 6,025 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 9·3,3² = 98,01

حدّا σ²

98,01/19,023 = 5,152

98,01/2,7 = 36,3

حدّ σ

σ = √36,3 = 6,025 µm

الإجابة

σ = 6,025 µm

فترة 95% لـ σ: [2,27, 6,025] µm.

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −2,16

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

إحصائية الاختبار

t = (197,3 − 200)/1,25 = −2,16

الإجابة

t = −2,16

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 71,7 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 2,5/√25 = 0,5

x̄_c = 80 + 2,326·0,5 = 81,16

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (81,16 − 81,45)/0,5 = −0,574

القدرة

القوة = P(Z > −0,574) = 71,7%

1 − β = 71,7%

الإجابة

1 − β = 71,7%

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,8536

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 175/6 = 29,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 32,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 82,83

معامل الارتباط

r = 32,5/√(17,5·82,83) = 0,8536

الإجابة

r = 0,8536

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 60,05

المتوسطات

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 319/5 = 63,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150

خط الانحدار

b = 150/40 = 3,75

a = 63,8 − 3,75·7 = 37,55

ŷ = 37,55 + 3,75·x

التنبؤ

ŷ = 37,55 + 3,75·6 = 60,05

الإجابة

ŷ = 60,05

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 32,56

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 87·61/163 = 32,56

الإجابة

E = 32,56

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²_crit = 9,488

درجات الحرية

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

الجدول

χ²_crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488

الإجابة

χ²_crit = 9,488

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology