مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

في التجربة الميدانية، يقوم الباحث بـ:

Aالتلاعب بالمتغير المستقل في مختبر
Bالتلاعب بالمتغير المستقل في بيئة واقعية
Cتحليل بيانات جمعها آخرون
Dالملاحظة فقط دون التلاعب بأي شيء

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

زيادة حجم العيّنة في دراسة تؤدي بشكل مباشر أكثر إلى:

Aزيادة حجم التأثير
Bيضمن نتيجة دالة إحصائيًا إن وُجد أي تأثير
Cزيادة القوة الإحصائية لاكتشاف تأثير حقيقي
Dإزالة كل تحيّز من العيّنة

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 16, 26, 12, 50, 60.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 8. ما نسبة P القيم الأكبر من 63,6؟

μ = 70σ = 8x = 63,6

P =

5.الاحتمالمتوسطة

يُرمى حجر نرد منتظم 8 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟

n = 8

P =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 5X + 5. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 5X + 5

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 12 min وانحراف معياري 1,5 min؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 20 min وانحراف معياري 2 min. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 35,8 min. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35,8 min

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 80% منها (المئين 80).

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 8 مفردة متوسطها 103 وانحرافها المعياري s = 20. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 8x̄ = 103s = 2099%t(7) = 3,499

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 7 قطعة، متوسط المحصول 13,5 kg، الانحراف المعياري 9,5 kg. مجموعة القطع 2: 5 قطعة، المتوسط 10,5 kg، الانحراف المعياري 9 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 13,5s₁ = 9,5n₂ = 5x̄₂ = 10,5s₂ = 995%t(10) = 2,228

الحد الأعلى = kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 11 طالبًا، متوسط الدرجة 97,5، الانحراف المعياري 9. المجموعة 2: 6 طالبًا، متوسط الدرجة 107,7، الانحراف المعياري 9,5. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).

n₁ = 11x̄₁ = 97,5s₁ = 9n₂ = 6x̄₂ = 107,7s₂ = 9,5

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 84 من 120 مريضًا على العلاج A، و 231 من 300 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 84n₁ = 120x₂ = 231n₂ = 300

z =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 45؟

n = 6ŷ = 45

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 2002 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 10 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 10

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · التلاعب بالمتغير المستقل في بيئة واقعية

لماذا هذه هي الإجابة

تزيد التجارب الميدانية، مثل مواقف المساعدة المدبّرة في الشارع، الصدقَ البيئي لكنها تمنح تحكمًا أقل في المتغيرات الدخيلة وتثير مسائل تتعلق بالموافقة.

الإجابة

B · التلاعب بالمتغير المستقل في بيئة واقعية

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · زيادة القوة الإحصائية لاكتشاف تأثير حقيقي

لماذا هذه هي الإجابة

تقلّل العيّنات الأكبر الخطأ المعياري فتزيد القوة، لكنها لا تغيّر حجم التأثير الحقيقي ولا تزيل التحيّز المنهجي.

الإجابة

C · زيادة القوة الإحصائية لاكتشاف تأثير حقيقي

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 21,19

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 164/5 = 32,8

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−16,8)² + (−6,8)² + (−20,8)² + 17,2² + 27,2² = 1797

الانحراف المعياري

s = √(1797/4) = 21,19

الإجابة

s = 21,19

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,7881

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −0,8

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,7674

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

الحدث المتمم

P(لا ستة) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

الإجابة

P = 0,7674

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 4,023

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

التغيير الخطي

σ_Y = |5|·0,8047 = 4,023

الإجابة

σ_Y = 4,023

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 5·1,05 + 5 = 10,25.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,06426

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (35,8 − 32)/2,5 = 1,52

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(1,52) = 1 − 0,9357 = 0,06426

الإجابة

P = 0,06426

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 533,7 h

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

العودة إلى x

x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h

الإجابة

x = 533,66 h

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 127,7

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 7, t = 3,499

هامش الخطأ

E = 3,499·20/√8 = 24,74

الفترة

103 ± 24,74 → [78,26, 127,7]

الإجابة

الحد الأعلى = 127,7

10.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 15,14 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (6·9,5² + 4·9²)/10 = 86,55

s_p = 9,303

هامش الخطأ

E = 2,228·9,303·√(1/7 + 1/5) = 12,14

الفترة

3 ± 12,14 → [−9,137, 15,14]

الإجابة

الحد الأعلى = 15,14 kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −2,192

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

التباين المجمَّع

s_p² = (10·9² + 5·9,5²)/15 = 84,08

s_p = 9,17

الخطأ المعياري

SE = 9,17·√(1/11 + 1/6) = 4,654

إحصائية الاختبار

t = (97,5 − 107,7)/4,654 = −2,192

الإجابة

t = −2,192

مع df = 15، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,131؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −1,497

نسبتا العينتين

p̂₁ = 84/120 = 0,7

p̂₂ = 231/300 = 0,77

p̂ = 315/420 = 0,75

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,75·0,25·(1/120 + 1/300)) = 0,04677

إحصائية الاختبار

z = (0,7 − 0,77)/0,04677 = −1,497

الإجابة

z = −1,497

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9012

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 220/6 = 36,67

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 34

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 81,33

معامل الارتباط

r = 34/√(17,5·81,33) = 0,9012

الإجابة

r = 0,9012

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 3,41

المتوسطات

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 287/6 = 47,83

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45,5

خط الانحدار

b = 45,5/17,5 = 2,6

a = 47,83 − 2,6·4,5 = 36,13

ŷ = 36,13 + 2,6·x

حلّ لإيجاد x

x = (45 − 36,13)/2,6 = 3,41

الإجابة

x = 3,41

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 11,93

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الطلاب: 100·40/200 = 20, 100·90/200 = 45, 100·70/200 = 35

الموظفون: 100·40/200 = 20, 100·90/200 = 45, 100·70/200 = 35

إحصاءة مربع كاي

χ² = (23 − 20)²/20 + (33 − 45)²/45 + (44 − 35)²/35 + (17 − 20)²/20 + (57 − 45)²/45 + (26 − 35)²/35

χ² = 11,93

الإجابة

χ² = 11,93

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 9

درجات الحرية

df = 10 − 1 = 9

الإجابة

df = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology