الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
في التوزيع الطبيعي التام:
- Aتقع معظم الدرجات في الذيلين
- Bيكون المنوال أدنى درجة
- Cيكون المتوسط دائمًا أكبر من الوسيط
- Dيتساوى المتوسط والوسيط والمنوال
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
لماذا يرى باحثون كثيرون أنه ينبغي الإبلاغ عن قيم p مع أحجام الأثر وفترات الثقة؟
- Aلأن فترات الثقة لا تلزم إلا في البحث النوعي
- Bلأن قيم p تُظهر احتمال صحة الفرضية
- Cلأن قيمة p لا تُظهر حجم الأثر أو دقته
- Dلأن أحجام الأثر تجعل حجم العينة غير مؤثر في الدلالة
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 11, 47, 23, 41, 27, 52.
n = 6
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 12. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 75.
μ = 60σ = 12x = 75
z =
5.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,25, 0,05, 0,3, 0,1
Var(X) =
6.الاحتمالصعبة
للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 2X + 1. أوجد الانحراف المعياري σY للمتغير Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 2X + 1
σY =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 70,75 و 127,75 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 100σ = 15x1 = 70,75x2 = 127,75
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,03 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,02 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
الثقب: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
9.فترات الثقةمتوسطة
يُقاس ضغط الدم لـ 8 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها −4,5 وانحرافها المعياري 6,7. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 95% لمتوسط الفروق.
n = 8d̄ = −4,5sd = 6,795%t(7) = 2,365
E = mmHg
10.فترات الثقةصعبة
يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 17 قطعة، متوسط المحصول 53 kg، الانحراف المعياري 3,5 kg. مجموعة القطع 2: 14 قطعة، المتوسط 49 kg، الانحراف المعياري 2,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 17x̄₁ = 53s₁ = 3,5n₂ = 14x̄₂ = 49s₂ = 2,599%t(29) = 2,756
الحد الأدنى = kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 49 طالبًا متوسط درجاتها 502,4 وانحرافها المعياري 10. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 502,4s = 10n = 49
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 100 قياسًا متوسطها 98,5. الانحراف المعياري للمجتمع 15. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 95% للمتوسط.
x̄ = 98,5σ = 15n = 10095%
L =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 5
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 6.
n = 5x = 6
ŷ =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 1002 × 2
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 6 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · يتساوى المتوسط والوسيط والمنوال
لماذا هذه هي الإجابة
التوزيع الطبيعي متناظر وجرسي الشكل، فتقع مقاييس النزعة المركزية الثلاثة جميعها في المركز.
الإجابة
D · يتساوى المتوسط والوسيط والمنوال
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · لأن قيمة p لا تُظهر حجم الأثر أو دقته
لماذا هذه هي الإجابة
تتوقف قيمة p كثيرًا على حجم العينة، ولا تدل إلا على مدى إثارة البيانات للدهشة في ظل الفرضية الصفرية. أما أحجام الأثر فتُظهر المقدار، والفترات تُظهر الدقة.
الإجابة
C · لأن قيمة p لا تُظهر حجم الأثر أو دقته
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 15,74
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 201/6 = 33,5
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−22,5)² + 13,5² + (−10,5)² + 7,5² + (−6,5)² + 18,5² = 1240
الانحراف المعياري
s = √(1240/5) = 15,74
الإجابة
s = 15,74
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = 1,25
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (75 − 60)/12 = 1,25
الإجابة
z = 1,25
5.الاحتمال
الإجابة: Var(X) = 2,028
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,3 + 1·0,25 + 2·0,05 + 3·0,3 + 4·0,1 = 1,65
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,25 + 4·0,05 + 9·0,3 + 16·0,1 = 4,75
التباين
Var(X) = 4,75 − 1,65² = 2,028
الإجابة
Var(X) = 2,028
6.الاحتمال
الإجابة: σY = 1,673
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
تشتت X
μ = 1, Var(X) = 0,7, σX = 0,8367
التغيير الخطي
σY = |2|·0,8367 = 1,673
الإجابة
σY = 1,673
المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 2·1 + 1 = 3.
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,9423
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (70,75 − 100)/15 = −1,95
z₂ = (127,75 − 100)/15 = 1,85
المساحة بين القيمتين
P = Φ(1,85) − Φ(−1,95) = 0,9678 − 0,02559 = 0,9423
الإجابة
P = 0,9423
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,8554
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع الفرق
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02828 mm
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (0 − 0,03)/0,02828 = −1,06
الاحتمال
P = 1 − Φ(−1,06) = 0,8554
الإجابة
P = 0,8554
9.فترات الثقة
الإجابة: E = 5,602 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
القيمة الحرجة
df = 7, t = 2,365
هامش الخطأ
E = 2,365·6,7/√8 = 5,602
الإجابة
E = 5,602 mmHg
10.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأدنى = 0,9246 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
الانحراف المعياري المجمَّع
sp² = (16·3,5² + 13·2,5²)/29 = 9,56
sp = 3,092
هامش الخطأ
E = 2,756·3,092·√(1/17 + 1/14) = 3,075
الفترة
4 ± 3,075 → [0,9246, 7,075]
الإجابة
الحد الأدنى = 0,9246 kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 1,68
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429
إحصائية الاختبار
t = (502,4 − 500)/1,429 = 1,68
الإجابة
t = 1,68
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: L = 95,56
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 1,96·15/√100 = 2,94
حد الفترة
L = 98,5 − 2,94 = 95,56
الإجابة
L = 95,56
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9987
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 120/5 = 24
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156
Syy = Σ(y − ȳ)² = 610
معامل الارتباط
r = 156/√(40·610) = 0,9987
الإجابة
r = 0,9987
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: ŷ = 43,4
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 233/5 = 46,6
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128
خط الانحدار
b = 128/40 = 3,2
a = 46,6 − 3,2·7 = 24,2
ŷ = 24,2 + 3,2·x
التنبؤ
ŷ = 24,2 + 3,2·6 = 43,4
الإجابة
ŷ = 43,4
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 13,5
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
الرجال: 60·50/100 = 30, 60·50/100 = 30
النساء: 40·50/100 = 20, 40·50/100 = 20
إحصاءة مربع كاي
χ² = (39 − 30)²/30 + (21 − 30)²/30 + (11 − 20)²/20 + (29 − 20)²/20
χ² = 13,5
الإجابة
χ² = 13,5
df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ²crit = 13,28
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 6 − 1 − 1 = 4
الجدول
χ²crit(df = 4, α = 0,01) = 13,277
الإجابة
χ²crit = 13,277
ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology