مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

تعني الإجرائية (التعريف الإجرائي):

Aإعطاء التعليمات للمشاركين
Bاختيار اختبار إحصائي
Cتعريف المتغيرات بطريقة دقيقة وقابلة للقياس
Dإجراء البحث في بيئة تشغيلية حقيقية، كالمستشفى

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

في انحدار متعدد يتنبأ بدرجات الامتحان من ساعات الدراسة والنوم، R² = 0,36. ماذا يعني ذلك؟

Aالمتنبئات معًا تفسر 36% من التباين في درجات الامتحان
Bالارتباط بين المتنبئات يساوي 0,36
Cنجح 36% من الطلاب في الامتحان
Dساعات الدراسة تسبب 36% من النجاح في الامتحان

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 10, 30, 42, 13, 16, 21.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 5. ما نسبة P القيم الأقل من 67,5؟

μ = 70σ = 5x = 67,5

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

σ =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 6 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,4، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 1 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 6p = 0,4k = 1

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. ما النسبة التي تقع بين 60,5 و 73 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 65σ = 10x₁ = 60,5x₂ = 73

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات معدل الذكاء (IQ) توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 40% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 100 درجةσ = 15 درجة40%

x = درجة

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 40 هاتفًا، المتوسط 45 h، الانحراف المعياري المعلوم 7 h. الطراز 2: 40 هاتفًا، المتوسط 32 h، الانحراف المعياري المعلوم 9 h. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 45 hσ₁ = 7 hn₂ = 40x̄₂ = 32 hσ₂ = 9 h90%

الحد الأعلى = h

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 13. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 4 على الأكثر؟

σ = 13E = 499%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 49 طالبًا متوسط درجاتها 194,4 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 194,4s = 15n = 49

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 25 قياسًا متوسطها 200,7. الانحراف المعياري للمجتمع 12. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 200,7σ = 12n = 2595%

L =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 6,5.

n = 5x = 6,5

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1802 × 2

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2603 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · تعريف المتغيرات بطريقة دقيقة وقابلة للقياس

لماذا هذه هي الإجابة

يحوّل التعريف الإجرائي المفاهيم المجردة إلى قياسات محددة بحيث يمكن تكرار البحث.

الإجابة

C · تعريف المتغيرات بطريقة دقيقة وقابلة للقياس

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · المتنبئات معًا تفسر 36% من التباين في درجات الامتحان

لماذا هذه هي الإجابة

تُظهر R² مقدار التباين في النتيجة الذي تفسره جميع المتنبئات معًا، ولا تثبت السببية.

الإجابة

A · المتنبئات معًا تفسر 36% من التباين في درجات الامتحان

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 12,05

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 132/6 = 22

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−12)² + 8² + 20² + (−9)² + (−6)² + (−1)² = 726

الانحراف المعياري

s = √(726/5) = 12,05

الإجابة

s = 12,05

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,3085

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −0,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

الإجابة

P = 0,3085

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 0,8047

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

التباين

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

الإجابة

σ = 0,8047

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,1866

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 1) = 6·0,4¹·0,6⁵ = 6·0,4·0,07776 = 0,1866

الإجابة

P = 0,1866

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,4618

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (60,5 − 65)/10 = −0,45

z₂ = (73 − 65)/10 = 0,8

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,8) − Φ(−0,45) = 0,7881 − 0,3264 = 0,4618

الإجابة

P = 0,4618

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 96,3 درجة

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,4

z من الجدول

z ≈ −0,25

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 100 − 0,25·15 = 96,3 درجة

الإجابة

x = 96,3 درجة

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 15,97 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 45 − 32 = 13

الخطأ المعياري

SE = √(7²/40 + 9²/40) = 1,803

هامش الخطأ

E = 1,645·1,803 = 2,966

الفترة

13 ± 2,966 → [10,03, 15,97]

الإجابة

الحد الأعلى = 15,97 h

الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 71

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·13/4)² = 70,09

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 71

الإجابة

n = 71

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −2,613

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

إحصائية الاختبار

t = (194,4 − 200)/2,143 = −2,613

الإجابة

t = −2,613

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 196

هامش الخطأ

E = 1,96·12/√25 = 4,704

حد الفترة

L = 200,7 − 4,704 = 196

الإجابة

L = 196

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,7379

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 155/5 = 31

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 14

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 36

معامل الارتباط

r = 14/√(10·36) = 0,7379

الإجابة

r = 0,7379

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 45,25

المتوسطات

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 212/5 = 42,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 19

خط الانحدار

b = 19/10 = 1,9

a = 42,4 − 1,9·5 = 32,9

ŷ = 32,9 + 1,9·x

التنبؤ

ŷ = 32,9 + 1,9·6,5 = 45,25

الإجابة

ŷ = 45,25

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 22,25

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الرجال: 80·117/180 = 52, 80·63/180 = 28

النساء: 100·117/180 = 65, 100·63/180 = 35

إحصاءة مربع كاي

χ² = (37 − 52)²/52 + (43 − 28)²/28 + (80 − 65)²/65 + (20 − 35)²/35

χ² = 22,25

الإجابة

χ² = 22,25

df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 17,54

التكرارات المتوقَّعة

خط الإنتاج 1: 40, 40

خط الإنتاج 2: 50, 50

خط الإنتاج 3: 40, 40

إحصاءة مربع كاي

χ² = (45 − 40)²/40 + (35 − 40)²/40 + (34 − 50)²/50 + (66 − 50)²/50 + (51 − 40)²/40 + (29 − 40)²/40

χ² = 17,54

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

17,54 > 5,991

الإجابة

χ² = 17,54

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology