الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
معامل ألفا كرونباخ البالغ 0,88 لمقياس قلق من 15 بندًا يدل على:
- Aأن الدرجات مستقرة على مدى ستة أشهر
- Bأن المقياس يتنبأ جيدًا بالقلق المستقبلي
- Cأن للمقياس تأثيرًا دالًا في القلق
- Dاتساق داخلي جيد للبنود
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
اختبار لـ«الذكاء» يقيس أساسًا سرعة الكتابة على لوحة المفاتيح. أي نوع من الصدق ينقصه بأوضح صورة؟
- Aالاتساق الداخلي
- Bثبات الاختبار وإعادة الاختبار
- Cصدق البنية (construct validity)
- Dالثبات بين المقيّمين
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 46, 58, 57, 15, 48.
n = 5
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 8. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 163,6.
μ = 170σ = 8x = 163,6
z =
5.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,25, 0,35, 0,15
σ =
6.الاحتمالصعبة
يُختبر 9 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,7. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 9p = 0,7
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,9426. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,9426
z =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,03 mm وانحراف معياري 0,01 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,01 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
الثقب: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
9.فترات الثقةمتوسطة
يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 100 هاتفًا، المتوسط 147 h، الانحراف المعياري المعلوم 3 h. الطراز 2: 40 هاتفًا، المتوسط 138,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 16 h. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 100x̄₁ = 147 hσ₁ = 3 hn₂ = 40x̄₂ = 138,5 hσ₂ = 16 h95%
الحد الأعلى = h
10.فترات الثقةصعبة
لأقطار 30 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 3 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأدنى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 29، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 16,047 و 2,5% فوق 45,722.
n = 30s = 3 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 46 وانحرافها المعياري 20. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 46s = 20n = 81
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
في تجربة سريرية، تعافى 110 من 200 مريضًا على العلاج A، و 75 من 150 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 110n₁ = 200x₂ = 75n₂ = 150
z =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 5
r² =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 84؟
n = 5ŷ = 84
x =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الموظفون، الحافلة».
مجموع الصف = 96مجموع العمود = 45N = 176
E =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 7 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). كم درجة حرية df للاختبار؟
k = 7
df =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · اتساق داخلي جيد للبنود
لماذا هذه هي الإجابة
يقدّر ألفا كرونباخ الاتساق الداخلي، وتُعد القيم في حدود 0,7 أو أعلى مقبولة عادةً. ولا يُظهر وحده الصدق.
الإجابة
D · اتساق داخلي جيد للبنود
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · صدق البنية (construct validity)
لماذا هذه هي الإجابة
صدق البنية هو ما إذا كان القياس يعكس فعلًا البنية الكامنة. وقد يكون الاختبار ثابتًا وهو يقيس الشيء الخطأ.
الإجابة
C · صدق البنية (construct validity)
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 17,48
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 224/5 = 44,8
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 1,2² + 13,2² + 12,2² + (−29,8)² + 3,2² = 1223
الانحراف المعياري
s = √(1223/4) = 17,48
الإجابة
s = 17,48
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = −0,8
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (163,6 − 170)/8 = −0,8
الإجابة
z = −0,8
5.الاحتمال
الإجابة: σ = 1,02
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,35 + 4·0,15 = 2,4
متوسط المربعات
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,35 + 16·0,15 = 6,8
التباين
Var(X) = 6,8 − 2,4² = 1,04
σ = √1,04 = 1,02
الإجابة
σ = 1,02
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,000433
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,39 = 1,968 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 9·0,7·0,38 = 0,0004133
اجمعها
P = 1,968 × 10⁻⁵ + 0,0004133 = 0,000433
الإجابة
P = 0,000433
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = 1,9
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = (1 + 0,9426)/2 = 0,9713
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,9713 داخل الجدول واقرأ z.
z = 1,90
الإجابة
z = 1,90
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,983
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع الفرق
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01414 mm
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (0 − 0,03)/0,01414 = −2,12
الاحتمال
P = 1 − Φ(−2,12) = 0,983
الإجابة
P = 0,983
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 13,49 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
التقدير النقطي
x̄₁ − x̄₂ = 147 − 138,5 = 8,5
الخطأ المعياري
SE = √(3²/100 + 16²/40) = 2,548
هامش الخطأ
E = 1,96·2,548 = 4,993
الفترة
8,5 ± 4,993 → [3,507, 13,49]
الإجابة
الحد الأعلى = 13,49 h
الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.
10.فترات الثقة
الإجابة: σ = 2,389 µm
فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.
مجموع المربعات
(n − 1)s² = 29·3² = 261
حدّا σ²
261/45,722 = 5,708
261/16,047 = 16,26
حدّ σ
σ = √5,708 = 2,389 µm
الإجابة
σ = 2,389 µm
فترة 95% لـ σ: [2,389, 4,033] µm.
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −1,8
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222
إحصائية الاختبار
t = (46 − 50)/2,222 = −1,8
الإجابة
t = −1,8
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = 0,9273
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
نسبتا العينتين
p̂₁ = 110/200 = 0,55
p̂₂ = 75/150 = 0,5
p̂ = 185/350 = 0,5286
الخطأ المعياري وفق H₀
SE = √(0,5286·0,4714·(1/200 + 1/150)) = 0,05392
إحصائية الاختبار
z = (0,55 − 0,5)/0,05392 = 0,9273
الإجابة
z = 0,9273
|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,7313
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 116/5 = 23,2
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14
Syy = Σ(y − ȳ)² = 26,8
معامل التحديد
r² = −14²/(10·26,8) = 0,7313
الإجابة
r² = 0,7313
نحو 73,13% من التباين في y يفسّره الخط.
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 6,066
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 452/5 = 90,4
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 274
خط الانحدار
b = 274/40 = 6,85
a = 90,4 − 6,85·7 = 42,45
ŷ = 42,45 + 6,85·x
حلّ لإيجاد x
x = (84 − 42,45)/6,85 = 6,066
الإجابة
x = 6,066
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: E = 24,55
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرار المتوقَّع
E = 96·45/176 = 24,55
الإجابة
E = 24,55
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: df = 6
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 7 − 1 = 6
الإجابة
df = 6
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology