مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

اختبار سهل إلى درجة أن معظم المشاركين يحصلون على درجات قريبة من الحد الأقصى. يُسمّى ذلك:

Aأثر الأرضية
Bأثر السقف
Cأثر الممارسة
Dأثر الترتيب

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تقلل الرياضة الاكتئاب، ويحدث ذلك لأن الرياضة تحسّن النوم، وهو بدوره يخفض الاكتئاب. يوصف النوم على أفضل نحو بأنه:

Aمتغير وسيط
Bمتغير مضبوط
Cمتغير دخيل
Dمتغير معدِّل

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 53, 14, 32, 46, 48, 19, 30.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 12. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 94.

μ = 70σ = 12x = 94

z =

5.الاحتمالمتوسطة

يُرمى حجر نرد منتظم 3 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟

n = 3

P =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 2X + 4. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,3, 0,05Y = 2X + 4

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل الصناديق مستقلة وطبيعية بمتوسط 12 kg وانحراف معياري 0,8 kg. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 4 منها عن 48,8 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 4< 48.8 kg

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أعمار البطاريات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 90% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 500 hσ = 40 h90%

x = h

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 30 مفردة متوسطها 81 وانحرافها المعياري s = 5,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 30x̄ = 81s = 5,599%t(29) = 2,756

الحد الأدنى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 21. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 2 على الأكثر؟

σ = 21E = 290%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 199,6 وانحرافها المعياري 4. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 199,6s = 4n = 81

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 99% للمتوسط 2,5 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 12. أوجد أصغر حجم عينة n.

σ = 12E = 2,599%

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 21؟

n = 6ŷ = 21

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «المناوبة النهارية، طفيف».

مجموع الصف = 113مجموع العمود = 86N = 217

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 9 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 9

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · أثر السقف

لماذا هذه هي الإجابة

تخفي آثار السقف الفروق بين الشروط لأن أحدًا لا يستطيع الحصول على درجة أعلى. أما آثار الأرضية فهي العكس، عندما تكون المهمة صعبة جدًا.

الإجابة

B · أثر السقف

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · متغير وسيط

لماذا هذه هي الإجابة

يقع المتغير الوسيط على المسار السببي بين المتنبئ والنتيجة، فيفسر كيف يحدث الأثر أو لماذا.

الإجابة

A · متغير وسيط

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 14,97

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 242/7 = 34,57

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 18,43² + (−20,57)² + (−2,571)² + 11,43² + 13,43² + (−15,57)² + (−4,571)² = 1344

الانحراف المعياري

s = √(1344/6) = 14,97

الإجابة

s = 14,97

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 2

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (94 − 70)/12 = 2

الإجابة

z = 2

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,4213

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

الحدث المتمم

P(لا ستة) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

الإجابة

P = 0,4213

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 1,778

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 2,1, Var(X) = 0,79, σ_X = 0,8888

التغيير الخطي

σ_Y = |2|·0,8888 = 1,778

الإجابة

σ_Y = 1,778

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 2·2,1 + 4 = 8,2.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6915

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 48 kg, σ_T = 0,8·√4 = 1,6 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (48,8 − 48)/1,6 = 0,5

الاحتمال

P = Φ(0,5) = 0,6915

الإجابة

P = 0,6915

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 551 h

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,9

z من الجدول

z ≈ 1,28

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 500 + 1,28·40 = 551 h

الإجابة

x = 551 h

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 78,23

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 29, t = 2,756

هامش الخطأ

E = 2,756·5,5/√30 = 2,767

الفترة

81 ± 2,767 → [78,23, 83,77]

الإجابة

الحد الأدنى = 78,23

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 299

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·21/2)² = 298,3

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 299

الإجابة

n = 299

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −0,9

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

إحصائية الاختبار

t = (199,6 − 200)/0,4444 = −0,9

الإجابة

t = −0,9

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 153

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·12/2,5)² = 152,9

قرّب إلى الأعلى

n = 153

الإجابة

n = 153

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9906

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 101/5 = 20,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 466,8

معامل التحديد

r² = 136²/(40·466,8) = 0,9906

الإجابة

r² = 0,9906

نحو 99,06% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 4,128

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 133/6 = 22,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32,5

خط الانحدار

b = −32,5/17,5 = −1,857

a = 22,17 − (−1,857)·3,5 = 28,67

ŷ = 28,67 − 1,857·x

حلّ لإيجاد x

x = (21 − 28,67)/(−1,857) = 4,128

الإجابة

x = 4,128

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 44,78

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 113·86/217 = 44,78

الإجابة

E = 44,78

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 7

درجات الحرية

df = 9 − 1 − 1 = 7

الإجابة

df = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology