مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يحصل طالب على 130 في اختبار متوسطه 100 وانحرافه المعياري 15. ما الدرجة المعيارية (z)؟

A0,5
B2,0
C1,5
D3,0

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

في البحث النوعي، تعني الانعكاسية (reflexivity) أن الباحث:

Aيتأمل في كيفية تأثير خلفيته وافتراضاته في التحليل
Bيكرر الدراسة للتحقق من الثبات
Cيحوّل المحاور إلى بيانات رقمية
Dيستخدم عينة عشوائية لإزالة التحيّز

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 16, 12, 15, 29, 41, 18, 59.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 25. ما نسبة P القيم الأكبر من 450؟

μ = 500σ = 25x = 450

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,2, 0,1, 0,35

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

يُختبر 9 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,25. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 9p = 0,25

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,8098. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,8098

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 95% منها (المئين 95).

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 7 مفردة متوسطها 74,5 وانحرافها المعياري s = 19,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 7x̄ = 74,5s = 19,599%t(6) = 3,707

الحد الأدنى =

10.فترات الثقةصعبة

لأقطار 10 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 7,8 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأدنى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 9، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 2,7 و 2,5% فوق 19,023.

n = 10s = 7,8 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 204,2 وانحرافها المعياري 10. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 204,2s = 10n = 25

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 200 مقابل H₁: μ > 200 عند α = 0,01 بعينة من 64؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 16. في الواقع المتوسط 205,8. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 200μ = 205,8σ = 16n = 64α = 0,01

1 − β = %

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 8.

n = 6x = 8

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «المناوبة النهارية، كبير».

مجموع الصف = 92مجموع العمود = 66N = 145

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 8 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²_crit عند مستوى الدلالة α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · 2,0

لماذا هذه هي الإجابة

‏(130 − 100) / 15 = 2. فالدرجة أعلى من المتوسط بانحرافين معياريين، أي أعلى من نحو 97–98% من الناس.

الإجابة

B · 2,0

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · يتأمل في كيفية تأثير خلفيته وافتراضاته في التحليل

لماذا هذه هي الإجابة

تعترف الانعكاسية بتأثير الباحث في جمع البيانات وتفسيرها، وهي معيار جودة أساسي في العمل النوعي.

الإجابة

A · يتأمل في كيفية تأثير خلفيته وافتراضاته في التحليل

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 17,3

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 190/7 = 27,14

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−11,14)² + (−15,14)² + (−12,14)² + 1,857² + 13,86² + (−9,143)² + 31,86² = 1795

الانحراف المعياري

s = √(1795/6) = 17,3

الإجابة

s = 17,3

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,9772

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

الإجابة

P = 0,9772

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 6,59

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,35 + 2·0,2 + 4·0,1 + 6·0,35 = 2,9

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,2 + 16·0,1 + 36·0,35 = 15

التباين

Var(X) = 15 − 2,9² = 6,59

الإجابة

Var(X) = 6,59

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,3003

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,75⁹ = 0,07508

P(X = 1) = 9·0,25·0,75⁸ = 0,2253

اجمعها

P = 0,07508 + 0,2253 = 0,3003

الإجابة

P = 0,3003

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,31

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,8098)/2 = 0,9049

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9049 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,31

الإجابة

z = 1,31

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 565,8 h

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

العودة إلى x

x = 500 + 1,645·40 = 565,8 h

الإجابة

x = 565,8 h

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 47,18

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 6, t = 3,707

هامش الخطأ

E = 3,707·19,5/√7 = 27,32

الفترة

74,5 ± 27,32 → [47,18, 101,8]

الإجابة

الحد الأدنى = 47,18

10.فترات الثقة

الإجابة: σ = 5,365 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 9·7,8² = 547,6

حدّا σ²

547,6/19,023 = 28,78

547,6/2,7 = 202,8

حدّ σ

σ = √28,78 = 5,365 µm

الإجابة

σ = 5,365 µm

فترة 95% لـ σ: [5,365, 14,24] µm.

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,1

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

إحصائية الاختبار

t = (204,2 − 200)/2 = 2,1

الإجابة

t = 2,1

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 71,7 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 16/√64 = 2

x̄_c = 200 + 2,326·2 = 204,7

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (204,7 − 205,8)/2 = −0,574

القدرة

القوة = P(Z > −0,574) = 71,7%

1 − β = 71,7%

الإجابة

1 − β = 71,7%

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9923

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 167/6 = 27,83

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 245

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 870,8

معامل الارتباط

r = 245/√(70·870,8) = 0,9923

الإجابة

r = 0,9923

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 63,33

المتوسطات

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 380/6 = 63,33

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 306

خط الانحدار

b = 306/70 = 4,371

a = 63,33 − 4,371·8 = 28,36

ŷ = 28,36 + 4,371·x

التنبؤ

ŷ = 28,36 + 4,371·8 = 63,33

الإجابة

ŷ = 63,33

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 41,88

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 92·66/145 = 41,88

الإجابة

E = 41,88

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²_crit = 16,81

درجات الحرية

df = 8 − 1 − 1 = 6

الجدول

χ²_crit(df = 6, α = 0,01) = 16,812

الإجابة

χ²_crit = 16,812

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology