مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

تعني قيمة p تساوي 0,03 أنه:

Aبالنظر إلى البيانات الملاحَظة، فاحتمال صحة الفرضية الصفرية 3% فقط
Bلو كانت الفرضية الصفرية صحيحة لظهرت بيانات بهذا التطرف في نحو 3% من الحالات
Cالتأثير كبير
Dستتكرر النتيجة في 97% من الحالات

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يتلاعب باحث بالمزاج بعرض فيلم حزين، ثم يطلب من المشاركين تقدير مدى حزنهم قبل المهمة الرئيسية. لماذا يُضمَّن هذا التقدير؟

Aلموازنة ترتيب الشروط
Bلإجراء إيضاح لاحق للمشاركين بشأن الأهداف
Cبوصفه فحصًا للتلاعب للتأكد من أن المتغير المستقل عمل كما هو مقصود
Dبوصفه المتغير التابع الرئيسي للدراسة

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 55, 36, 53, 57, 15.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 12. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 50,4.

μ = 60σ = 12x = 50,4

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,15, 0,3, 0,2, 0,25

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €5 للمشاركة. تربح €20 باحتمال 0,3 و€100 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €5€20: p = 0,3€100: p = 0,05

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. ما النسبة التي تقع بين 248,75 و 260,25 g؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 250σ = 5x₁ = 248,75x₂ = 260,25

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أعمار البطاريات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 90% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 500 hσ = 40 h90%

x = h

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 7 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها −7,7 وانحرافها المعياري 3,9. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% لمتوسط الفروق.

n = 7d̄ = −7,7s_d = 3,995%t(6) = 2,447

الحد الأعلى = mmHg

10.فترات الثقةصعبة

تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,2 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للنسبة 0,02 على الأكثر؟

p ≈ 0,2E = 0,0290%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 101,6 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 101,6s = 5n = 81

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 25 قياسًا متوسطها 200,1. الانحراف المعياري للمجتمع 5. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 200,1σ = 5n = 2595%

L =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 120Σy = 336Σx² = 2970Σy² = 23642Σxy = 8373

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (2,5, 30). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 30)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «ريفي، مرتفع».

مجموع الصف = 35مجموع العمود = 46N = 131

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 7 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 7

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · لو كانت الفرضية الصفرية صحيحة لظهرت بيانات بهذا التطرف في نحو 3% من الحالات

لماذا هذه هي الإجابة

قيمة p هي احتمال الحصول على نتائج متطرفة بقدر النتائج الملاحظة أو أكثر لو كانت الفرضية الصفرية صحيحة، ولا تعطي احتمال صحة فرضية ولا حجم التأثير.

الإجابة

B · لو كانت الفرضية الصفرية صحيحة لظهرت بيانات بهذا التطرف في نحو 3% من الحالات

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · بوصفه فحصًا للتلاعب للتأكد من أن المتغير المستقل عمل كما هو مقصود

لماذا هذه هي الإجابة

يتحقق فحص التلاعب من أن المتغير المستقل أحدث الحالة النفسية المقصودة، ودونه قد تعني النتيجة الصفرية أن التلاعب فشل.

الإجابة

C · بوصفه فحصًا للتلاعب للتأكد من أن المتغير المستقل عمل كما هو مقصود

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 17,84

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 216/5 = 43,2

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 11,8² + (−7,2)² + 9,8² + 13,8² + (−28,2)² = 1273

الانحراف المعياري

s = √(1273/4) = 17,84

الإجابة

s = 17,84

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −0,8

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (50,4 − 60)/12 = −0,8

الإجابة

z = −0,8

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,628

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,1 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,2 + 5·0,25 = 3,35

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,2 + 25·0,25 = 12,85

التباين

Var(X) = 12,85 − 3,35² = 1,628

الإجابة

Var(X) = 1,628

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 6 €

النتائج الصافية

G: 15 (p = 0,3), 95 (p = 0,05), −5 (p = 0,65)

القيمة المتوقعة

E(G) = 15·0,3 + 95·0,05 − 5·0,65 = 6 €

الإجابة

E(G) = 6 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,5785

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (248,75 − 250)/5 = −0,25

z₂ = (260,25 − 250)/5 = 2,05

المساحة بين القيمتين

P = Φ(2,05) − Φ(−0,25) = 0,9798 − 0,4013 = 0,5785

الإجابة

P = 0,5785

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 551 h

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,9

z من الجدول

z ≈ 1,28

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 500 + 1,28·40 = 551 h

الإجابة

x = 551 h

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = −4,093 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 6, t = 2,447

هامش الخطأ

E = 2,447·3,9/√7 = 3,607

الفترة

−7,7 ± 3,607 → [−11,31, −4,093]

الإجابة

الحد الأعلى = −4,093 mmHg

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 1083

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,645²·0,2·0,8/0,02² = 1082

قرّب إلى الأعلى

n = 1083

الإجابة

n = 1083

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,88

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

إحصائية الاختبار

t = (101,6 − 100)/0,5556 = 2,88

الإجابة

t = 2,88

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 198,1

هامش الخطأ

E = 1,96·5/√25 = 1,96

حد الفترة

L = 200,1 − 1,96 = 198,1

الإجابة

L = 198,1

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9991

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 8373 − 120·336/5 = 309

S_xx = 2970 − 120²/5 = 90

S_yy = 23642 − 336²/5 = 1063

معامل الارتباط

r = 309/√(90·1063) = 0,9991

الإجابة

r = 0,9991

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 4,65

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 123/5 = 24,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15

خط الانحدار

b = −15/10 = −1,5

a = 24,6 − (−1,5)·3 = 29,1

ŷ = 29,1 − 1,5·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 29,1 + (−1,5)·2,5 = 25,35

البُواقي

e = 30 − 25,35 = 4,65

الإجابة

e = 4,65

تقع النقطة فوق الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 12,29

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 35·46/131 = 12,29

الإجابة

E = 12,29

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 6

درجات الحرية

df = 7 − 1 = 6

الإجابة

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology