مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

أي اختبار يناسب مقارنة متوسطي مجموعتين مستقلتين ببيانات فترية تقارب التوزيع الطبيعي؟

Aاختبار ويلكوكسون للرتب ذات الإشارة
Bارتباط بيرسون
Cاختبار مربع كاي
Dاختبار t للعيّنات المستقلة

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

بعد تحليل البيانات يكتب باحث المقدمة كأن نتيجة غير متوقعة كانت متنبأً بها منذ البداية. يُسمّى ذلك:

Aالموازنة
Bالتعريف الإجرائي
CHARKing (صياغة الفرضيات بعد معرفة النتائج)
Dالإيضاح اللاحق

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 27, 60, 25, 12, 19, 56.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 108.

μ = 100σ = 20x = 108

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,35, 0,2, 0,2

σ =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 10X + 4. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,35, 0,1, 0,35Y = 10X + 4

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,9525. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,9525

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 9 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 5,7 وانحرافها المعياري 0,7. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% لمتوسط الفروق.

n = 9d̄ = 5,7s_d = 0,790%t(8) = 1,86

الحد الأدنى = mmHg

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 6. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 0,5 على الأكثر؟

σ = 6E = 0,595%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 30 جزءًا متوسط طولها 56 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 4 mm. الخط 2: عينة من 30 جزءًا متوسطها 59,2 mm، والانحراف المعياري المعلوم 7 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).

n₁ = 30x̄₁ = 56 mmσ₁ = 4 mmn₂ = 30x̄₂ = 59,2 mmσ₂ = 7 mm

z =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 81 قياسًا متوسطها 117,6. الانحراف المعياري للمجتمع 20. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 117,6σ = 20n = 8195%

U =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 30Σy = 119Σx² = 220Σy² = 3437Σxy = 868

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 11؟

n = 5ŷ = 11

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1602 × 2

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 2 صفوف و 4 أعمدة (دون احتساب المجاميع). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²_crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · اختبار t للعيّنات المستقلة

لماذا هذه هي الإجابة

يقارن اختبار t للعيّنات المستقلة متوسطي مجموعتين. مربع كاي للتكرارات، وويلكوكسون للعيّنات المرتبطة ذات البيانات اللامعلمية.

الإجابة

D · اختبار t للعيّنات المستقلة

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · HARKing (صياغة الفرضيات بعد معرفة النتائج)

لماذا هذه هي الإجابة

يقدّم HARKing النتائج الاستكشافية على أنها تأكيدية، فتبدو النتائج أمتن مما هي عليه، ويسهم ذلك في أزمة قابلية التكرار.

الإجابة

C · HARKing (صياغة الفرضيات بعد معرفة النتائج)

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 19,97

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 199/6 = 33,17

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−6,167)² + 26,83² + (−8,167)² + (−21,17)² + (−14,17)² + 22,83² = 1995

الانحراف المعياري

s = √(1995/5) = 19,97

الإجابة

s = 19,97

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 0,4

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (108 − 100)/20 = 0,4

الإجابة

z = 0,4

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 10,62

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 10·0,25 + 20·0,35 + 30·0,2 + 40·0,2 = 23,5

متوسط المربعات

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,35 + 900·0,2 + 1600·0,2 = 665

التباين

Var(X) = 665 − 23,5² = 112,8

σ = √112,8 = 10,62

الإجابة

σ = 10,62

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 11,58

تشتت X

μ = 2,6, Var(X) = 1,34, σ_X = 1,158

التغيير الخطي

σ_Y = |10|·1,158 = 11,58

الإجابة

σ_Y = 11,58

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 10·2,6 + 4 = 30.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = −1,67

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,9525 = 0,0475

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,0475 داخل الجدول واقرأ z.

z = −1,67

الإجابة

z = −1,67

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 4)/5 = −0,8

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 5,266 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 8, t = 1,86

هامش الخطأ

E = 1,86·0,7/√9 = 0,434

الفترة

5,7 ± 0,434 → [5,266, 6,134]

الإجابة

الحد الأدنى = 5,266 mmHg

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 554

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·6/0,5)² = 553,2

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 554

الإجابة

n = 554

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −2,174

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

الخطأ المعياري للفرق

SE = √(4²/30 + 7²/30) = √2,167 = 1,472

إحصائية الاختبار

z = (56 − 59,2)/1,472 = −2,174

الإجابة

z = −2,174

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 122

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,96·20/√81 = 4,356

حد الفترة

U = 117,6 + 4,356 = 122

الإجابة

U = 122

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9901

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 868 − 30·119/5 = 154

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 3437 − 119²/5 = 604,8

معامل الارتباط

r = 154/√(40·604,8) = 0,9901

الإجابة

r = 0,9901

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 5,163

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 64/5 = 12,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86

خط الانحدار

b = 86/40 = 2,15

a = 12,8 − 2,15·6 = −0,1

ŷ = −0,1 + 2,15·x

حلّ لإيجاد x

x = (11 − (−0,1))/2,15 = 5,163

الإجابة

x = 5,163

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 21,54

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المدخّنون: 80·104/160 = 52, 80·56/160 = 28

غير المدخّنين: 80·104/160 = 52, 80·56/160 = 28

إحصاءة مربع كاي

χ² = (38 − 52)²/52 + (42 − 28)²/28 + (66 − 52)²/52 + (14 − 28)²/28

χ² = 21,54

الإجابة

χ² = 21,54

df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²_crit = 7,815

درجات الحرية

df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3

الجدول

χ²_crit(df = 3, α = 0,05) = 7,815

الإجابة

χ²_crit = 7,815

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology