مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

أي اختبار يناسب مقارنة متوسطي مجموعتين مستقلتين ببيانات فترية تقارب التوزيع الطبيعي؟

Aارتباط بيرسون
Bاختبار t للعيّنات المستقلة
Cاختبار مربع كاي
Dاختبار ويلكوكسون للرتب ذات الإشارة

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يريد باحث أن يُظهر أن مقياسًا جديدًا للقلق يقيس شيئًا مختلفًا عن الاكتئاب. الارتباطات المنخفضة مع مقياس للاكتئاب تدعم:

Aالصدق الظاهري
Bالصدق التنبؤي
Cالصدق التقاربي
Dالصدق التمييزي

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 30, 36, 53, 48, 26, 14.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 5. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 160.

μ = 170σ = 5x = 160

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,05, 0,25, 0,35, 0,15

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 5 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,4، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 1 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 5p = 0,4k = 1

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,0122. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,0122

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات الامتحان توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 25% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 65 درجةσ = 10 درجة25%

x = درجة

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 6 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها −1,9 وانحرافها المعياري 0,9. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% لمتوسط الفروق.

n = 6d̄ = −1,9s_d = 0,990%t(5) = 2,015

الحد الأعلى = mmHg

10.فترات الثقةصعبة

لأقطار 11 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 8,3 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأدنى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 10، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 3,247 و 2,5% فوق 20,483.

n = 11s = 8,3 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 44,72 وانحرافها المعياري 12. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 44,72s = 12n = 25

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 200 مقابل H₁: μ > 200 عند α = 0,05 بعينة من 36؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 3. في الواقع المتوسط 201,6. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 200μ = 201,6σ = 3n = 36α = 0,05

1 − β = %

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 23.

n = 6x = 23

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الموظفون، الحافلة».

مجموع الصف = 78مجموع العمود = 71N = 163

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 1803 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · اختبار t للعيّنات المستقلة

لماذا هذه هي الإجابة

يقارن اختبار t للعيّنات المستقلة متوسطي مجموعتين. مربع كاي للتكرارات، وويلكوكسون للعيّنات المرتبطة ذات البيانات اللامعلمية.

الإجابة

B · اختبار t للعيّنات المستقلة

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · الصدق التمييزي

لماذا هذه هي الإجابة

يظهر الصدق التمييزي (التباعدي) عندما يرتبط القياس ارتباطًا ضعيفًا بمقاييس بنى مختلفة، أما الصدق التقاربي فهو الارتباط المرتفع بمقاييس البنية نفسها.

الإجابة

D · الصدق التمييزي

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 14,42

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 207/6 = 34,5

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−4,5)² + 1,5² + 18,5² + 13,5² + (−8,5)² + (−20,5)² = 1040

الانحراف المعياري

s = √(1040/5) = 14,42

الإجابة

s = 14,42

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −2

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (160 − 170)/5 = −2

الإجابة

z = −2

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,76

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,2 + 2·0,05 + 3·0,25 + 4·0,35 + 5·0,15 = 3,2

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,05 + 9·0,25 + 16·0,35 + 25·0,15 = 12

التباين

Var(X) = 12 − 3,2² = 1,76

الإجابة

Var(X) = 1,76

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,2592

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 1) = 5·0,4¹·0,6⁴ = 5·0,4·0,1296 = 0,2592

الإجابة

P = 0,2592

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 2,25

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,0122 = 0,9878

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9878 داخل الجدول واقرأ z.

z = 2,25

الإجابة

z = 2,25

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 58,3 درجة

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,25

z من الجدول

z ≈ −0,67

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 65 − 0,67·10 = 58,3 درجة

الإجابة

x = 58,3 درجة

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = −1,16 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 5, t = 2,015

هامش الخطأ

E = 2,015·0,9/√6 = 0,7404

الفترة

−1,9 ± 0,7404 → [−2,64, −1,16]

الإجابة

الحد الأعلى = −1,16 mmHg

10.فترات الثقة

الإجابة: σ = 5,799 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 10·8,3² = 688,9

حدّا σ²

688,9/20,483 = 33,63

688,9/3,247 = 212,2

حدّ σ

σ = √33,63 = 5,799 µm

الإجابة

σ = 5,799 µm

فترة 95% لـ σ: [5,799, 14,57] µm.

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −2,2

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

إحصائية الاختبار

t = (44,72 − 50)/2,4 = −2,2

الإجابة

t = −2,2

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 94 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 3/√36 = 0,5

x̄_c = 200 + 1,645·0,5 = 200,8

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (200,8 − 201,6)/0,5 = −1,555

القدرة

القوة = P(Z > −1,555) = 94%

1 − β = 94%

الإجابة

1 − β = 94%

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9949

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 137/6 = 22,83

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 213

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 654,8

معامل الارتباط

r = 213/√(70·654,8) = 0,9949

الإجابة

r = 0,9949

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 73,85

المتوسطات

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 392/6 = 65,33

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 298

خط الانحدار

b = 298/70 = 4,257

a = 65,33 − 4,257·21 = −24,07

ŷ = −24,07 + 4,257·x

التنبؤ

ŷ = −24,07 + 4,257·23 = 73,85

الإجابة

ŷ = 73,85

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 33,98

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 78·71/163 = 33,98

الإجابة

E = 33,98

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 0,4365

التكرارات المتوقَّعة

المصنع A: 18, 42

المصنع B: 24, 56

المصنع C: 12, 28

إحصاءة مربع كاي

χ² = (19 − 18)²/18 + (41 − 42)²/42 + (22 − 24)²/24 + (58 − 56)²/56 + (13 − 12)²/12 + (27 − 28)²/28

χ² = 0,4365

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

0,4365 < 5,991

الإجابة

χ² = 0,4365

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology