الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
ما نوع البيانات التي يجمعها سؤال مفتوح في المقابلة؟
- Aبيانات نوعية
- Bبيانات فترية
- Cبيانات كمية اسمية فقط
- Dبيانات نسبية
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
يتلاعب باحث بالمزاج بعرض فيلم حزين، ثم يطلب من المشاركين تقدير مدى حزنهم قبل المهمة الرئيسية. لماذا يُضمَّن هذا التقدير؟
- Aبوصفه فحصًا للتلاعب للتأكد من أن المتغير المستقل عمل كما هو مقصود
- Bلإجراء إيضاح لاحق للمشاركين بشأن الأهداف
- Cلموازنة ترتيب الشروط
- Dبوصفه المتغير التابع الرئيسي للدراسة
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 44, 20, 23, 20, 15.
n = 5
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 75. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 612,5.
μ = 500σ = 75x = 612,5
z =
5.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,15, 0,25, 0,25
Var(X) =
6.الاحتمالصعبة
يحتوي اختبار على 6 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,7، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 4 إجابات صحيحة بالضبط؟
n = 6p = 0,7k = 4
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,0314. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,0314
z =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,05 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,02 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
الثقب: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
9.فترات الثقةمتوسطة
فترة ثقة 95% لمتوسط، مبنية على 100 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 3. ما هامش الخطأ E₂ إذا استخدمت الدراسة نفسها 400 مشاهدة بدلًا من ذلك؟
95%n₁ = 100E₁ = 3n₂ = 400
E₂ =
10.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 5. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 1 على الأكثر؟
σ = 5E = 199%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
يُزعم أن متوسط مجتمع ما 500؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 6. متوسط عينة عشوائية من 144 مشاهدة هو 500,79. اختبر H₀: μ = 500 مقابل H₁: μ > 500. أوجد القيمة الاحتمالية p.
μ₀ = 500σ = 6n = 144x̄ = 500,79H₁: μ > μ₀
p =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 5 وحدة بقوة 95%. الانحراف المعياري 12. أوجد أصغر حجم عينة n.
α = 0,05القوة = 95%δ = 5σ = 12zα = 1,645zβ = 1,645
n =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 5
r² =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (5,5, 66). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 6(5,5, 66)
e =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «حضري، متوسط».
مجموع الصف = 62مجموع العمود = 36N = 134
E =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.
N = 2203 × 2α = 0,05
χ² =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: A · بيانات نوعية
لماذا هذه هي الإجابة
تنتج الأسئلة المفتوحة بيانات نوعية غنية يصعب تحليلها إحصائيًا مقارنة بإجابات الأسئلة المغلقة.
الإجابة
A · بيانات نوعية
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: A · بوصفه فحصًا للتلاعب للتأكد من أن المتغير المستقل عمل كما هو مقصود
لماذا هذه هي الإجابة
يتحقق فحص التلاعب من أن المتغير المستقل أحدث الحالة النفسية المقصودة، ودونه قد تعني النتيجة الصفرية أن التلاعب فشل.
الإجابة
A · بوصفه فحصًا للتلاعب للتأكد من أن المتغير المستقل عمل كما هو مقصود
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 11,33
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 122/5 = 24,4
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 19,6² + (−4,4)² + (−1,4)² + (−4,4)² + (−9,4)² = 513,2
الانحراف المعياري
s = √(513,2/4) = 11,33
الإجابة
s = 11,33
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = 1,5
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (612,5 − 500)/75 = 1,5
الإجابة
z = 1,5
5.الاحتمال
الإجابة: Var(X) = 5,76
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,35 + 2·0,15 + 4·0,25 + 6·0,25 = 2,8
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,35 + 4·0,15 + 16·0,25 + 36·0,25 = 13,6
التباين
Var(X) = 13,6 − 2,8² = 5,76
الإجابة
Var(X) = 5,76
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,3241
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صيغة ذي الحدين
P(X = 4) = 15·0,74·0,32 = 15·0,2401·0,09 = 0,3241
الإجابة
P = 0,3241
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = 1,86
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = 1 − 0,0314 = 0,9686
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,9686 داخل الجدول واقرأ z.
z = 1,86
الإجابة
z = 1,86
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,9616
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع الفرق
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77
الاحتمال
P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616
الإجابة
P = 0,9616
9.فترات الثقة
الإجابة: E₂ = 1,5
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
نسبة الهامشين
E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(100/400) = 0,5
الهامش الجديد
E₂ = 3·0,5 = 1,5
الإجابة
E₂ = 1,5
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 166
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (2,576·5/1)² = 165,9
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 166
الإجابة
n = 166
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: p = 0,05705
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
إحصائية الاختبار
SE = σ/√n = 6/√144 = 0,5
z = (500,79 − 500)/0,5 = 1,58
مساحة الذيل
Φ(1,58) = 0,9429
1 − Φ(1,58) = 0,0571
القيمة الاحتمالية
p = 0,05705
الإجابة
p = 0,05705
p > 0,05، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: n = 63
حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = ((1,645 + 1,645)·12/5)² = 62,35
قرّب إلى الأعلى
n = 63
الإجابة
n = 63
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,8634
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 101/5 = 20,2
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28
Syy = Σ(y − ȳ)² = 90,8
معامل التحديد
r² = −28²/(10·90,8) = 0,8634
الإجابة
r² = 0,8634
نحو 86,34% من التباين في y يفسّره الخط.
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = −4,595
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 409/6 = 68,17
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42,5
خط الانحدار
b = 42,5/17,5 = 2,429
a = 68,17 − 2,429·4,5 = 57,24
ŷ = 57,24 + 2,429·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = 57,24 + 2,429·5,5 = 70,6
البُواقي
e = 66 − 70,6 = −4,595
الإجابة
e = −4,595
تقع النقطة تحت الخط.
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: E = 16,66
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرار المتوقَّع
E = 62·36/134 = 16,66
الإجابة
E = 16,66
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 47,45
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
المصنع A: 28, 12
المصنع B: 56, 24
المصنع C: 70, 30
إحصاءة مربع كاي
χ² = (23 − 28)²/28 + (17 − 12)²/12 + (38 − 56)²/56 + (42 − 24)²/24 + (93 − 70)²/70 + (7 − 30)²/30
χ² = 47,45
القرار
df = 2, χ²crit = 5,991
47,45 > 5,991
الإجابة
χ² = 47,45
χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology